いつも大変お世話になってます。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p343_002.jpg
の通りに
「R^n⊃Fがself-similar with ratio r(>0) ⇔(def) F=S_1(F)∪S_2(F)∪…∪S_m(F)なる同
ratioのsimilarities S_1,S_2,…,S_mが存在する」
がself-similarの定義だと思います。

[問] Let S denote the Sierpinski triangle. Lebel each of the following
statements as TRUE or FALSE.
(a) S is compact.
(b) S consists of countably many points.
(c) S is self-similar
(d) S has Hausdorff dimension ln3/ln2.

という問題です。

(a) はTRUE。何故なら,Sは閉集合の共通部分なのでSは閉集合。
よって,Heine-Borelの被覆定理より,Sはcompact。

(b) FALSE. SはCantor集合と同様に構築される事から。

で宜しいかと思います。

(c) TRUE.

最初,S=S_1(F)∪S_2(F)∪…∪S_m(F)なるsimilarities S_1,S_2,…,S_mとして,
ratio 1、S_1=S_2=…=S_m=idと採ればいいのかと思いましたがこれならどんな図形もself-similarになってしまいますよ
ね。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p343_002.jpg
にself-simiarの例が挙げられてますが, いまいち,self-similarの意味がわりません。
self-similarってどういう意味なのでしょうか?

(d) TRUE.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p335_005.jpg
のTheorem2.5よりSierpinski triangleはln3/ln2のHausdorff次元を持つ。

でいいかと思います。

吉田京子