工繊大の塚本と申します.

In article <95627f4a-cd25-4064-ae1c-a16bea22f59b@e23g2000vbe.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p343_002.jpg
> の通りに
> 「R^n⊃Fがself-similar with ratio r(>0) 
> ⇔(def) F=S_1(F)∪S_2(F)∪…∪S_m(F)なる同
> ratioのsimilarities S_1,S_2,…,S_mが存在する」
> がself-similarの定義だと思います。
> 
> [問] Let S denote the Sierpinski triangle. Lebel each of the following
> statements as TRUE or FALSE.
> (a) S is compact.
> (b) S consists of countably many points.
> (c) S is self-similar
> (d) S has Hausdorff dimension ln3/ln2.
> 
> という問題です。
> 
> (a) はTRUE。何故なら,Sは閉集合の共通部分なのでSは閉集合。
> よって,Heine-Borelの被覆定理より,Sはcompact。
> 
> (b) FALSE. SはCantor集合と同様に構築される事から。

それだけの言明では証明にならないですね.

> (c) TRUE.
> 
> 最初,S=S_1(F)∪S_2(F)∪…∪S_m(F)なるsimilarities S_1,S_2,…,S_mとして,
> ratio 1、S_1=S_2=…=S_m=idと採ればいいのかと思いましたが
> これならどんな図形もself-similarになってしまいますよね。

無論, m = 1 で S_1 = id の場合は除きます.

> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p343_002.jpg
> にself-simiarの例が挙げられてますが, いまいち,self-similarの意味がわりません。
> self-similarってどういう意味なのでしょうか?

 p. 343 に説明してある通り, その図形が
自分自身と相似な部分の組合せで出来ている
ということです.

 Sierpinski triangle についても, どう
 S_1, S_2, S_3 を取れば良いか, 記述がありますね.

> (d) TRUE.
> 
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p335_005.jpg
> のTheorem2.5よりSierpinski triangleはln3/ln2のHausdorff次元を持つ。

これなら単なる復習ですが, self-similarity の観点からも
示されているのではないでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp