工繊大の塚本です.

In article <f08db47f-6a6d-4b12-91d4-2263e2930637@35g2000pry.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> (ii) 零元の存在
> V(×)Wの零元として(0,0)modTが採れる。
> これが零元であることを確かめてみると
> (0,0)modT+(x,y)modT=((0,0)+(x,y))modT(∵テンソル積の和の定義)
> =(x,y)modT (∵(0,0)はspan(V×W)での零元?)
> うーん,(0,0)がspan(V×W)の零元であることはどうやって言えますでしょうか?

まず, (0, 0) は span(V×W) の零元 0 ではありません. 
ですから, 上では証明になっていません.

先ず, span(V×W) の二つの元が等しいとはどういうことか,
を復習しておきましょう.

 Σ_{i=1}^N a_i (x_i, y_i) と Σ_{j=1}^M b_j (x'_j, y'_j)
が等しいのは, (x_i, y_i) (1≦i≦N) も (x'_j, y'_j) (1≦j≦M) も
含む (x''_k, y''_k) (1≦k≦L) を取って,

  (x''_k, y''_k) = (x_i, y_i) となる i があるとき, a'_k = a_i,
  (x''_k, y''_k) = (x_i, y_i) となる i がないとき, a'_k = 0,

とし,

  (x''_k, y''_k) = (x'_j, y'_j) となる j があるとき, b'_k = b_j,
  (x''_k, y''_k) = (x'_j, y'_j) となる j がないとき, b'_k = 0,

とするとき a'_k = b'_k (1≦k≦L) となる場合です. つまり,
一次結合を, 対応する生成元がないところは係数を 0 として
拡張したものは等しいものとして扱い, 等しいかどうかを
判定する訳です.

この約束の下に, 0(x, y) は全て同じものになります.
 0(x_1, y_1) = 0(x_1, y_1) + 0(x_2, y_2) = 0(x_2, y_2)
であるわけです. Σ_{i=1}^N 0(x_i, y_i) も皆同じです.
これのことを span(V×W) の零元 0 としている訳です.
(空の生成元の一次結合と考えることもあります.)

ですから, V(×)W の零元としては, この span(V×W) の
零元 0 の属する類 [0] を取れば良いのです. 実際,
 u を任意の span(V×W) の元とすれば, u + 0 = u = 0 + u
ですから, [u] + [0] = [u + 0] = [u] = [0 + u] = [0] + [u]
です.

さて, V(×)W では [r(x, y)] = [(rx, y)] = [(x, ry)] でした.
 [0] = [0(x, y)] = [(0・x, y)] = [(0, y)] であり,
 [0] = [0(x, y)] = [(x, 0・y)] = [(x, 0)] であり,
特に, x = 0 や y = 0 とすれば, [0] = [(0, 0)]
でもあるのです. その意味で, [(0, 0)] も V(×)W の
零元ですが, それを直接示すには少し技術が必要です.

例えば, [u] = [r(x, y) + u'] = [(rx, y) + u'] としておいて,
 [(0, 0)] = [(0, 0・y)] = [(0・0, y)] = [(0, y)]
ですから, [u] + [0] = [(rx, y)] + [u'] + [(0, y)]
 = [(rx, y) + (0, y)] + [u'] = [(rx + 0, y)] + [u']
 = [(rx, y) + u'] = [u] とすれば, 直接にも示せます.

> (iii) 逆元の存在
> (x,y)modTの逆元として(-x,y)modTが採れる。
> これが逆元である事を確かめてみると
> (x,y)modT+(-x,y)modT=((x,y)+(-x,y))modT
> うーん,これもこれら=(0,y)modTに持っていけません。

 T には (x + (-x), y) - (x, y) - (-x, y) が入っていますから,
 [(x, y) + (-x, y)] = [(x + (-x), y)] = [(0, y)] です.
従って, [(x, y)] + [(-x, y)] = [(x, y) + (-x, y)] 
 = [(x + (-x), y)] = [(0, y)] = [0] より,
 -[(x, y)] = [(-x, y)] であることは示されますが,
 x(×)y の形の元だけについて逆元の存在を示すのでは
不十分です.

実は, u ∈ span(V×W) には -u ∈ span(V×W) が
あって, u + (-u) = 0 = (-u) + u となるのですから,
 V(×)W において, [u] + [-u] = [u + (-u)] = [0]
 = [(-u) + u] = [-u] + [u] となり, [-u] を -[u] と
して良いのは自明です.

この辺りになると, 少し抽象的な議論の方が, 反って
易しくなるのです.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp