ご回答誠に有難うございます。


>> Ξ=φという事は{x_0}×C(y_i,ε)が突っ切っている交円盤が無いという事,
>> つまり,{x_0}×C(y_i,ε)は被覆されてる有限個のどの開球の表面を突っ切っていない
>> という意味ですから
> 貴方は「交円盤」を隣り合う被覆についてしか考えていません.
> それだけでは「被覆されてる有限個のどの開球の表面を突っ切っていない」を
> 言ったことにはなりませんから, その証明が必要です.

隣り合う被覆で覆った場合を議論すればいいでしょうか?

開集合(f^-1(0)∪(x_0,y_i))^cにある{x_0}×C(y_i,ε)内にある(開球による)無限開被覆をΓとして,
Σ:={B∈2^Γ;3≦#B∈N;\not\exists b'∈B such that 
∪_{b∈B}b⊃{x_0}×C(y_i,ε)\nsubset∪_{b∈B\setminus{b'}b}}
と置く,つまり,最低限必要な有限開被覆を採る
(∵Σ=φは有り得ない。もしΣ=φだとすると常に∃b'∈B such that 
∪_{b∈B}b⊃{x_0}×C(y_i,ε)⊂∪_{b∈B\setminus{b'}b}}が採れ続けれる事になり,#Bが有限である事に矛盾)。
この時,任意のB∈Σに対して,l:=#B≧3でなければならない(∵#B=1や#B=2では(x_0,y_i)を含んでしまう)。
この時,l'個の交円γ_1,γ_2,…,γ_l'⊂C^2(3≦l'≦l)に於いて,交円盤Isdγ_1,Isdγ_2,…,Isdγ_l'は{x_0}×C(y_i,ε)に突っ切られている(∵もし突っ切られてないIsdγ_j(3≦j≦l')が存在したとすると,γ_jを含むC^2内の平面をπとするとE:=(π\setminus 
Isdγ_j)∩({x_0}×C(y_i,ε))≠φとなり,({x_0}×C(y_i,ε)⊃)Eはこの有限開被覆Bでは覆われていない事になり矛盾)。

という方針でいいでしょうか? これをもっと詳細に述べればいいでしょうか?


> 以下の部分においても, 思い込みで述べられている部分が多く,
> 検証することができませんから, 評価は差し控えます.

上述のようなΣ(#B≧3)を採ればl'個の交円(その円盤は{x_0}×C(y_i,ε)と交点を持つ)が存在する。
でいいと思うのですが未だ気づいてない反例がありますでしょうか? 


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