ご回答誠に有難うございます。


>> Ξ:={γ'_1,γ'_2,…,γ'_l'}
>> ={γ∈{γ_1,γ_2,…,γ_l};Isdγ∩({x_0}×C(y_i,ε))≠φ}…(タ) 
>> (l':=#Ξ≦l,2≦l)。
> \gamma_j は開球 B((x_0, \zeta_j), \rho_{\zeta_j}) と
> B((x_0, \zeta_{j+1}), \rho_{\zeta_{j+1}}) の境界の交線でしたね.

はい,交円ですね。


> その「内部」というのは, それを含む平面における内部でしょうか.

はい,左様です。それは円盤になると思います。


>> もしΞ=φなら
>> (つまり,l=1,一つの開球Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})のみで{x_0}×C(y_i,ε)を覆える),
> \Xi = \emptyset であるなら l = 1 であるというのは何故でしょうか.
> そこが肝心のところです.

すいません。言葉足らずでした。Ξ=φという事は{x_0}×C(y_i,ε)が突っ切っている交円盤が無いという事,つまり,{x_0}×C(y_i,ε)は被覆されてる有限個のどの開球の表面を突っ切っていないという意味ですからその場合は{x_0}×C(y_i,ε)をたった一つで覆える開球が存在する。という意味を伝えたくてl=1としてしまいました(実際には空集合だからl=0ですね)。


> いずれにせよ, f(x_0, y_i) = 0 ですから,
> 一つの開球 B((x_0, \zeta_1), \rho_{\zeta_1}) のみで
> { x_0 } \times C(y_i, \epsilon) が覆われることはありません.

なるほど。 抜けておりました。。
(x_0,y_i)∈{x_0}×C(y_i,ε)⊂Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})となってしまいますから,
f^-1(0)∩Ball[(x_0,ζ_1),ρ_{ζ_1})≠φとなり,今この開被覆{Ball[(x_0,ζ),ρ_ζ}_{ζ∈C(y_i,ε)}はf^-1(0)^cに採っていた事に反してしまいますね。故に{x_0}×C(y_i,ε)を(x_0,y_i)を避けて覆うには開球は少なくとも3つ以上要りますね(二つの開球で(x_0,y_i)を避けて覆う事は不可能ですね)。

、、という事でΞ=φは有り得ないのでした。 Ξ=φの場合は撤回します。

よって前記事のΞ≠φの場合の証明はいかがでしょうか?


>> τ:=ρ_{ζ_1}-ε(>0)と採ればよい。
> 意味不明です.

そうでした。意味不明でした。 


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