ご回答誠に有難うございます。


>> 「帰納的集合存在公理」仮定後じゃないと無限集合を定義する事不可能なのですね。 
>> 
> ちゃんと読んでいますか.

はい。一応読んでおりますが。

以前に
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
と順序数(cardinal)を定義しました。

そして 「数学のロジックと集合論」のp129を読んでます。
順序数の定義が私のとだいぶ異なってるですが,私のは間違っておりますでしょうか?

そしてp129の下の方に無限集合の定義が載ってますがそこでやはり自然数を用いていますよね。自然数を用いているという事は帰納的集合の概念を用いてるのでしょうから「帰納的集合存在公理」を仮定せねばならないと感じたのでした。

>>> 「数学のロジックと集合論」の 157 page にあるように,
>>> 無限公理の述べ方にも色々あり, 「あらかじめ有限・無限の定義を
>>> 与えてから無限公理を定式化する方法もあるが」, 自然数の存在を
>>> 「帰納的集合」の存在から導いてから無限を定義するのがこの本の
>>> 立場です.
> どう定義するかは立場に依ります. 但し,

あぁ。そういうことだったのですね。

>> 「自然数と同じ濃度を持つ集合が有限集合で,そうでない集合が無限集合です.」
>> という(普通(?)の)無限集合の定義と
>> デデキントの無限集合の定義の2通りの定義があるのですね。
> そう, その２通りの定義があります. しかし,

了解です。ただ,デデキントの無限集合の定義の方が,ZF公理系の仮定後,写像と全単射を定義さえすれば定義できるので,手っ取り早いのですね。

>> 前者は"自然数"という用語を定義中に盛り込んでいるから
>> 自然数の定義後(即ち,帰納的集合存在公理仮定後で無ければならず,
> この本では便宜上自然数を用いて定義されていますが,
> 自然数を表に出さずに「有限集合」を定義することもできます.
> 岩波の数学辞典(第４版)を御覧になれば,
> 集合 A のベキ集合 P(A) の部分集合 X について,
> (1) \emptyset \in X,
> (2) \forall B \in X, \forall a \in A, B \cup { a } \in X,
> であるとき, X は A によって生成される部分集合の族, ということにして,
> A によって生成される部分集合の族 X すべてについて, A \in X,
> であるとき, A は有限である, とする定義が書かれています.
> # 355 濃度 F. 有限と無限の定義

これはベキ集合と和集合の概念しか要らないので更にシンプルな定義ですね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__01.jpg
と二通り定義いたしました。

>> 後者も「帰納的集合存在公理」仮定後でないと存在言えないのですね。納得です。 
>> 
> デデキント無限集合が存在するかどうかを別にするなら,
> 定義することだけは出来ます.
> ま, 一つの本に書かれていることが全てではありません.

有難うございます。お陰さまで明るくなりました。

デデキントの無限集合の定義は"デデキントの"という所有代名詞が付いてますが

ベキ集合を用いての無限集合の定義
や
「数学のロジックと集合論」のp129の無限集合の定義のように濃度を使っての定義
には特に所有代名詞や形容詞などは付かないのですね。

>> そして,αが極限順序数とはαの順序型ot(α)が有限順序型(または有限順序数)ではない,
>> つまり, ∀n∈Nに対して,{0,1,…,n}はot(α)の元ではない。という意味ですよね。 
>> 
> 違いますよ. 順序型というのは整列集合について定まるもので,

以前から
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
の定義で正しいと思っておりましたがどう訂正すれば正しくなるのでしょうか?
それとも全くの間違いなのでしょうか?

> 順序数の順序型は自分自身です.

自分自身類と考えればあながち
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_infinite_set__00.jpg
のDef 424.99でも間違いではないのでしょうか?

つまり, (A,≦)が整列集合の時,順序同型の類ordtyp(A,≦)(:={(A',≦');(A',≦')は(A,≦)と順序同型})
の代表元(A,≦)が順序型ordtyp(A,≦)の順序数。
という具合に。

> 極限順序数の概念はそれとは関係ありません.
> \alpha が極限順序数であるとは,
> \alpha がどんな順序数 \beta の後継順序数 \beta' とも違うことです.
> 有限順序数は極限順序数ではありませんが,
> 無限の順序数でも極限順序数でないものがいくらでもあります.
> 自然数全体に対応する順序数 \omega は極限順序数ですが,
> \omega + 1 は極限順序数ではありません.

αが順序数⇔α'∪{α'}=αなる順序数α'が存在しない場合ですね。

>> 無限基数⇒極限順序数
>> は当たり前ですね。
> 分かっていますか.

これは大変失礼いたしました。
順序数⇒順序型は言えるが順序型⇒順序数は一般には言えないのでしたね。

無限基数と言ったら, 無限集合の順序型の事であって順序数ではありませんね。

そして,N∪{φ}とか,Rや2^Rとかは極限順序数とは言えないのですね。

>> 整列可能定理から実無限集合であろうが整列集合(任意の部分集合は最小限を持つ)に
>> 仕立て上げる事ができるので,
> 極限順序数は順序数ですから自然な順序を持っていて整列集合です.

そうでした。既に整列集合でした。

> わざわざ仕立てる必要はありません.

了解です。

>>  任意の無限集合をXとすると,これは極限順序数の元であり,
>> minX,minX〓{minX},minX〓{minX〓{minX}},…と自然数のように並べる事が出来るので
>> (瘋義xiom of Choice),
> というのでこれは無意味です.

これは単に任意の無限集合は帰納的集合にできるというだけの話でした。

>> 任意の無限基数の集合は帰納的集合となるのですね。
> 極限順序数であれば帰納的集合であるということは
> 理解できているのでしょうか.

非零の極限順序数の場合ですね。
ωはNですから帰納的集合ですね。

ω+1=N∪{N},ω+2=(ω+1)+1=N∪{N}∪{N∪{N}},…,ω+ω.
つまり,{ω+1,ω+2,…}=ω+ωは明らかに帰納的集合ですね。
何故なら, φ∈ω+ωで,任意のx∈ω+ωに対して,x∪{x}∈ω+ωとなるのでω+ωも帰納的集合ですね。

>> すみませんでした。無限基数の極限順序集合は存在しませんでした。
> 何を主張しているのでしょうか.

これは全くの勘違いでした。

>> A=Bとは任意のxに対して,(x∈A⇒x∈B且つx∈B⇒x∈A)である事
>> (但しx∈Aは何の意味も持たない)
>> と解釈すれば宜しいのでしょうか(ここでの"⇒"は含意を意味します)?
> ZF集合論での「外延性公理」とはそういうものです.

了解です。そのように覚えておきたいと思います。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
>> と順に定義していきました。
> 最初の方に書いてあることは, 通常の言葉で数学を述べる立場からは
> 当たり前でしょうが, １階述語論理の上に集合論を構築しようとする
> 立場からは, 全然駄目です.
> 先ず, 集合論における論理式とは何か, というところから出発する
> ものでしょう.

集合論における論理式とは
http://www.sdi-net.co.jp/sdi_148.htm
で述べてあるような,"∈"という記号を使った論理式の事ですね。

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_zf_axiom__00.jpg
では一階述語論理と"∈"を使って,ZF公理系を構築しておりますが。。

>> 論理記号とは命題式(∨,∧,¬という命題結合しからなる命題関数の事)と
>> ∀と∃の量化記号との事を指し,
>> 論理記号からできた命題関数を述語式と呼び,
>> 述語式の議論の事を述語論理と呼びます。
>> そして,数学記号とは関数記号と関係記号の事を指します。
>> 論理記号と数学記号とを合わせた述語式を1階言語式,
>> その議論の事を1階言語論理と呼びます。
>> それでもって1階述語式とは論理記号と1階数学記号とからできた命題関数の事であり,
>> その議論の事を1階述語論理と呼ぶ。
>> という風に行き着いたのですがこれでいかがでしょうか?
> 貴方の書いているものからは行き付けないでしょう.

えっA!?何故ですかっ。。
ではどうすればZF公理系に行きつけれるのでしょうか?

> ところで, [定義 -12] には明らかに勘違いがあるようですね.
> 普通, P \mathrel{\mathop\Leftrightarrow^{\rm def}} Q と書くときに
> 「 Q が真である時」などという条件は付いていません.

これは仰る通りですね。
然も,"命題"の定義は[定義-12]より後の[定義-10]に述べておりました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_definition__00.jpg
と訂正致しました。これなら大丈夫でしょうか?0

>> ただ解せないのが数学記号の定義の箇所で,
>>  まだZFC公理系すらも述べていない段階で
>> "関数"や"定数"という言葉がどうして持ち出せるのでしょうか?
> その「関数」やら「定数」というのは「集合論における関数」でも
> 「集合論における定数」でもありませんよ.

そのようです。p149の関数記号とは
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_first_order_predicate_language__00.pdf
での[定義-8]の命題関数(素論理式)の事と解釈すればいいでしょうか?
変数が一つの命題関数,変数が二つの命題関数,…を夫々,1変数関数記号,2変数関数記号,…と言うのですね。
どんな変数xでも常に命題関数PがP(x)=true(か若しくはP(x)=false)の時は,0変数関数記号(定関数記号)と呼ぶのですね。
そうしますと,
関係記号も所詮は変数によって真偽が決まってしまう命題関数の一種ですよね。どうして関数記号と分けてあるのでしょうか?
関数記号と関係記号の違いとは何なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
>> にて
>> 『I_A が任意の recursive set (教科書での inductive set) の
>>  部分集合であることの証明は省かれているようですね.』
>> これは【5】で示しておりますが勘違いしてますでしょうか?
> 貴方の D が教科書の N_A であるわけですが,
> それは A の部分集合で帰納的なものの全体であり,
> 世の中の全ての帰納的集合を含んでいるわけではありません.
> I_A が D の元 I に含まれているだけでは不十分です.
> ちゃんと教科書には書いてあるから読みましょう.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_recursive_set__00.jpg
とお蔭様で上手くいきました。

>> 『Peano の公理の部分は「 Peano の公理」の理解が
>>  違っているようにも思います.
>>  因みに教科書に書いてあるのは「略証」です.
>>  ちゃんと「証明」にまで, 行間, 或いは, 語間を埋めて,
>>  完成させて下さい.』
>> 何処をいい加減に証明してしまったかわからないのですが。
> 先ず (i) (ii) からしていい加減です.
> Peano の公理の (1) は 0 \in \mathbf{N},
> (2) は n \in \mathbf{N} \rightarrow n' \in \mathbf{N} であるのに,
> (i), (ii) あわせて (1) しか述べていない.
> (1), (2), (3), (4), (5) と対応するように
> (i), (ii), (iii), (iv), (v) が書かれていないというだけでも
> 論評するに値しません.

すいません。また混乱してしまいました。教科書のp75,p76を参考にすべく
先ず命題論理式を定義を試みました(P75下の定理2.4にて"集合論の論理式"と断ってあるので).
命題論理式の定義は教科書のp142の定義4.1に載っておりましたが,
"論理式"を定義するのに(1)にて"論理式"という用語が使ってあり,意味がよくわかりませんでしたので
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_propositional_formula__00.pdf
という具合に命題論理式の定義をしましたがこれででも大丈夫でしょうか?

そして,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
という具合に集合の定義を再チェックしました。
[定義1.65]で初めて集合の定義が完了するので
ZF公理系を述べてる間は[定義1.595]中では集合という言葉を使わずに"数学的体系"という用語を用いましたがやはり不味いでしょうか?

それでもって晴れて
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_logical_formula_of_Set_theory__00.jpg
という風に集合論での論理式が定義できましたが,これも大丈夫でしょうか?

そして,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Peano_s_postulate__00.jpg
という具合にNがPeanoの公理が証明できました。
Theorem9.807の(v)でm∈m∪{m}となる理由はAxiom of extensionalityよりという事で間違いないでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_Axiom_of_extensionality__00.jpg

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_empty_set__00.jpg
>> という具合に空集合の存在を証明しました。
> Axiom of replacement の記述が間違っているでしょう.
> tautology というのも変ですね.
> それが修正されてから議論しましょう.

そうでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/axiom_of_comprehension__00.jpg
と訂正致しました。"is a tautology"という表現も変ですね。
公理だから,
"(∀x,∀y,∀z, (P(x,y)∧P(x,z)→y = z))) → (∀a ,∃b;(v∈b→(∃u∈ 
;P(u,v))))"
と決めるのでしたね。

そして置換公理についてQ&A 数学基礎論入門からの質問です。

そして,p112の末行で「yが存在しない場合には"それでもよい"という事である」
と記載されてるのですが"それでもよい"とはy=zは真と考えてもよい。という意味なのでしょうか?
でも今,yは存在してないので,y=zは明らかに偽だと思うのですが。。。

そして, p113なのですがここでは置換公理の解説にいたってます。
「これを分りやすく書けば書けば
b={y;∃x∈aA(x,y)}
という事になる」
と説明してありますが,今,aは任意の集合ですよね,その時,A(x,y)を真と出来るような元xがaに存在しない時はbは空集合となってしまう訳ですが
集合置換公理の後に空集合を定義できるのですから, bが空集合となっては矛盾になりますよね。
それともここの段階(置換公理を述べる以前)では集合といったら必ず元を持つものという設定になっているのでしょうか?

もしそうなら,
外延性の公理,対の公理,和集合の公理,無限の公理,冪集合の公理のどれが任意の集合は必ず元を持つ事を保証しているのでしょうか?

>> 所で"z={y}⇔(def) ∀u(u∈z←→u=y)"は何と読むのでしょうか?
>> 「z={y}であるという事は任意の集合uに対してu∈z←→u=yが成り立つ事と定義する」 
>> 
>> という解釈で正しいでしょうか?
> はい.

有難うございます。

>> あぁ, z∈yなら「数学的体系zは数学的体系yに含まれる」,
>> {y}なら「数学的体系{y}は数学的体系yを含む」
>> といった文字列でしょうか。
> どうして「数学的体系」としたのか分かりません.
> 「数学的対象」なら未だ分かります.
> 「集合論」の中ではそれを「集合」と呼んでいます.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_set__00.pdf
[Def-0.37]にて数学的体系という言葉を使いました。これは完全に間違いでしょうか?

>> "含まれる"とは何かと追求されたら,
>> 日常生活の会話で使用する"含まれる"と同意と答えればいいのですね。
> 素人さんには, そう考えて良いようになっているから安心しなさい, と答えます.

玄人さんには何と応えればいいのでしょうか?

>> ええっ!!  "…"が使えないならどうすればいいのでしょうか?
> 工夫して下さい.
>>> そこに何が入ることを想像しているかは他の人には伝わりません.
>> φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ,{φ}}}と順に後続する記号の列を省略したもの
>> と答えてはダメでしょうか?
> 駄目です.

すみません。くっ工夫って一体どうすればいいのでしょうか?