ご回答誠に有難うございます。

>> ZF公理系からはこのDdekindの無限集合を
>> 定義する事は不可能なのですよね。
> 「選択公理」がなくても定義は出来ますよ.
> 普通の無限集合の定義とは一致しないだけで.

うーん、どういったものでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__00.jpg
>> が正しい証明でございます。
> その写像 f: A \to A, f(x) = x \cup { x } が
> f: A \to (A \setminus { \emptyset }) の全単射であることは
> 少しも自明なことではありません.
> 単射であることも証明が必要でしょう.
> 「数学のロジックと集合論」の p. 75 に書いてあるから, 読んで下さい.

有難うございます。拝読してみました(ちょっと混乱中)。

> 全射であることを証明できますか.
> 実際には, A が Dedekind-infinite であることを示すのに,
> f: A \to (A \setminus { \emptyset }) が全射であることを
> 証明する必要はないわけですが.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_infinite_set__01.jpg
で大丈夫でしょうか?

あと,Axiom of extensionalityとは簡潔に言えば集合x,y,zが在って,x=y∧y=zならx=zと言う主張でしょうか?

当初は「集合a,bが在って,(x∈aならx∈b)∧(x∈bならx∈a)の時,a=bとする」がAxiom
of extensionalityの意味かと思ってましたがAxiom of extensionalityが登場する時点では記号"∈"が未定義状態でした。

それで,ZF公理系の前に記号"∈"を下記のように定義してみました。

[公理ア] xを集合と呼ぶ事にする。
[公理イ] {x}を集合と呼ぶ事にする(対集合の公理(?))。
[公理ウ] {x,{x}}を集合と呼ぶ事にする(合併集合の公理(?))。
[公理エ] {x,{x}}が集合ならばA:={x,{x},{x,{x}}}も集合とする。
そして一番外側の中括弧とカンマ(カンマが無い場合も含む[公理イ])で区切られたx,{x},{x,{x}}は集合Aの元と呼び,
x∈A,{x}∈A},{x,{x}}∈Aと記述する。
[公理オ] 元を全く持たない集合(これをAとする)が存在する(∵[公理ア]ではφは中括弧を持たないので記号"∈"が使えない),
この時,A=φと表す事にし,Aは空集合であると言う。

このようにZF公理系の前に記号"∈"を定義して置かないと,ZF公理系を述べる際に迚も不便になりそうに思いました。

>> 上記の改証明でいいのですよね。
>>> 「数学のロジックと集合論」 p. 73 の自然数の定義では「帰納的集合」
>>> になっていますね. I では一つ帰納的集合 A を取って定義している
>>> ことが明確ではないですから, I_A として, N_A = \cap I_A とし,
>>> N_A が, 任意の帰納的集合に含まれる, 最小の帰納的集合であること
>>> を証明した後に,
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__03.jpg
>> としてみたのですが
> [定義 9.78] は「集合 A が帰納的集合の時」とするものです.
> Dedekind-infinite である集合が帰納的な部分集合を含むとは
> 限りません. そのときは I_A も \cap I_A も空集合になってしまいます.


> [定義 9.79] で \cap_{A \in C} A と書かれているものを,
> \cap C と書く習慣です. 同様に, \cup_{A \in C} A は \cup C です.
> p. 35 にありますね.
：
> それは全然証明になっていません. p. 75 に書いてあることを
> もう一度お読み直し下さい.
>> どうやら∩_{X∈I_A}Xを自然数系として良さそうです。
> まだまだ遠いようです.

有難うございます。漸く分かりました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_natural_number__04.jpg
で大丈夫かと思います。