ご回答誠に有難うございます。

>>> ここでの主張は, Re(s) > 0 においては
>>>  \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
>>>   = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx
>>> が成立する, ということの筈です.
>> すいません。この等式はどのようにして証明してけばいいのでしょうか?
> f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n  (0 \leq x \leq n),
> f_n(x) = 0  (n < x), で f_n(x) を定めれば,
> |f_n(x)| は n について単調増加してx^{Re(s)-1} \exp(-x) に収束し,

これはその通りですね。

> x^{Re(s)-1} \exp(-x) は [0, \infty) で可積分ですから,

[0,∞) で可積分という事は
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9527__00.jpg
ですね。ところでどうすれば
{x∈R^+;x^{Re(s)-1}exp(-x)>r}と{x∈R^+;x^{Re(s)-1}(1-x/n)^n>r}とがR^+上のσ-algegraの元になっている事は示せますでしょうか?

> Lebesgue の定理が適用できます.

 http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_953__00.pdf
となったのですが末行から2行目にて(Lebesgueの定理を利用して)limを∫の中に入れるのは右辺ではnが上端に来ているので∫_0^n lim_{n→∞}x^{s-1}(1-x/n)^ndxとは掛けないと思うのですがい 
かがでしょうか?
それとどうして∫_0^n lim_{n→∞}x^{s-1}(1-x/n)^ndxから_0^∞exp(-x)dxともっていけるのでしょうか?

>> あと, lim_{n→∞}∫_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dxは
>> C\setminus{0,-1,-2,…}で正則なのですよね?
> その極限で表される関数は
：
> その初めの式自体には意味がありませんよ.

了解です。