ご回答誠に有難うございます。

>> Γ(s)が確かに∫_0^∞x^{s-1}exp(-x)dxの解析接続になってる事の
>> 証明を試んでいるのですが
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_953__00.pdf
>> 2ページ目の下から3行目で
>> lim_{n→∞}lim_{k→∞}をlim_{n,k→∞}と言う風に
>> 極限の順序を問わなくていいことを述べたいのですが
>> ここでの理由付けはどうなりましょうか?
> 最終的に必要となるのは,
>  \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
>   = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx
> なのですから, そこに絞って証明を試みられては如何ですか.

えっ,つまり
(-1)lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/k)^k
dx+(-1)ilim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/k)^k dx
=
(-1)lim_{n→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/n)^n
dx+(-1)ilim_{n→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/n)^n dx
といきなり書けるという事なのでしょうか?

> それから, 単調収束定理は増加列についてのものです.
> 減少列なら違う定理を使うのでしょう.

単調収束定理を使って,
「Let (Ω,Σ,μ) be a measure space.
Then f_1,f_2,…∈L^1に於いて,f_1≧f_2≧…≧f a.e.⇒lim_{n→∞}∫_Ω f_n dμ
= ∫_Ω f dμ.」
が言えますよね。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_952__00.jpg

> さて,
>  f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n   (0 < x < n)
>         = 0                     (otherwise)
> という関数列について, |f_n(x)| はどうかというと,
>  g(t, x) = (1 - x/t)^t  (0 < x < t)
：
> |f_n(x)| は単調増加列であることがわかります.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9525__00.jpg
となりましたがどうして(ln(1-x/t)+x/(t-x))g(t,x)と変形できるのでしょうか?

> これで解決できますね.

ええっ? すいません。混乱しております。
どうしてこれから
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_953__00.pdf
2ページ目の下から3行目でlim_{n→∞}lim_{k→∞}をlim_{n,k→∞}という変形の理由付けになるのでしょうか?