Re: Γ(s)が∫_0^∞x^{s-1}exp(-x)dxの解析接続になっている事の証明で
工繊大の塚本です.
In article <k207sg$st0$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120827004419.M0310466@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 最終的に必要となるのは,
> > \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
> > = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx
> > なのですから, そこに絞って証明を試みられては如何ですか.
>
> えっ,つまり
> (-1)lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/k)^k
> dx+(-1)ilim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/k)^k dx
> =
> (-1)lim_{n→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/n)^n
> dx+(-1)ilim_{n→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/n)^n dx
> といきなり書けるという事なのでしょうか?
だから, \lim_{n \to \infty} \lim_{k \to \infty} のような
二重極限を導入する必要はありません.
> > それから, 単調収束定理は増加列についてのものです.
> > 減少列なら違う定理を使うのでしょう.
>
> 単調収束定理を使って,
> 「Let (Ω,Σ,μ) be a measure space.
> Then f_1,f_2,…∈L^1に於いて,f_1≧f_2≧…≧f a.e.⇒lim_{n→∞}∫_Ω f_n dμ
> = ∫_Ω f dμ.」
> が言えますよね。
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_952__00.jpg
複素数値関数 f_n の |f_n| の話をしていると思っていたのに,
実数値関数の話でしたか. そりゃあ, そういう「定理」を作っても
構いませんが, 今の役には立ちません.
> > さて,
> > f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n (0 < x < n)
> > = 0 (otherwise)
> > という関数列について, |f_n(x)| はどうかというと,
> > g(t, x) = (1 - x/t)^t (0 < x < t)
> 鐚^Z
> > |f_n(x)| は単調増加列であることがわかります.
>
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9525__00.jpg
> となりましたがどうして(ln(1-x/t)+x/(t-x))g(t,x)と変形できるのでしょうか?
貴方の計算は (\partial/\partail t)(1 - x/t)^t の計算が
間違っています. 二箇所に t が現れるのですから, それぞれの
微分の項の和になります. 計算が分かりやすいように,
\log g(t, x) = t \log(1 - x/t) の微分をしてみせたのですが,
分かりませんでしたか. 左辺の微分は
(\partial g/\partial t)(t, x)/g(t, x),
右辺の微分は
\log(1 - x/t) + t \times (1/(1 - x/t)) \times (x/t^2)
= \log(1 - x/t) + x/(t - x)
であるので,
(\partial g/\partial t)(t, x) = (\log(1 - x/t) + x/(t - x)) g(t, x)
です.
> ええっ? すいません。混乱しております。
> どうしてこれから
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_953__00.pdf
> 2ページ目の下から3行目でlim_{n→∞}lim_{k→∞}を
> lim_{n,k→∞}という変形の理由付けになるのでしょうか?
だから n, k 二つの parameter での極限は考えません.
> > \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx
> > = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx
が示されれば, それを使えば宜しい.
--
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
GnuPG Key ID = ECC8A735
GnuPG Key fingerprint = 9BE6 B9E9 55A5 A499 CD51 946E 9BDC 7870 ECC8 A735