ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10003__01.jpg
>> とすべきでしたね。
> 正確にいえば, r が整数の場合と整数でない場合は
> 分けなければなりません.
>>> さらに, 0 < r - n < 1 にしていては,
>>> t^{r-n} は t \to \infty で \infty に発散するのですから,
>>> t^{r-n} \exp(-t) の可積分性が明確になっているとは
>>> 言えません.
>> なので
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10003__02.jpg
>> という具合にt^{r-n}exp(-t)をt^1exp(-t)で抑えているのですが
>> 不味かったでしょうか?
> [4] の \int_a^\infty \exp(-t) dt の収束は,
> 積分 \int_a^b \exp(-t) dt が直ぐに計算できて
> その極限だけで済みますが,
> \int_a^\infty t \exp(-t) dt の収束は
> 積分 \int_a^b t \exp(-t) dt を一回部分積分した上で,
> \lim_{b \to \infty} b \exp(-b) の収束と
> [4] の収束の両方を用いることになるわけで,
> 単純に [4] と同様にできるというわけではありません.

あ〜っ!! ご上述の整数と非整数とに分ける意図がなんとなく分かってまいりました。 

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop192_10003__02.jpg
にて0<r-n<1の時,lim_{b→∞}∫_a^b t^{r-n}exp(-t)duがlim_{b→∞}∫_a^b
t^1exp(-t)duで抑えられるという件は0≦aなら
0≦lim_{b→∞}∫_a^b t^{r-n}exp(-t)du≦lim_{b→∞}∫_a^b t^1exp(-t)du∈R
となる事はわかりますが,
a<0なら,lim_{b→∞}∫_a^b t^{r-n}exp(-t)du≦lim_{b→∞}∫_a^b t^1exp(-t)duという不等式が成立つかは容易には分かりませんね(r-nが非整数ならなおさら)。

それで∫_a^0 t^r exp(-t) dtを
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop205_2821__02.jpg
という風に場合分けして証明してしてみたのですがこれではいかがでしょうか?