工繊大の塚本です.

In article <jtq5g8$7j9$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ε(cos(εt(2π))isin(εt(2π))) (if 1/ε≦t≦2/ε)
> はt=1/ε,t=2/εとも
> ε(cos(εt(2π))isin(εt(2π)))=ε+i0=εとなり,

複素数平面上の点としては同じ.

> 閉曲線となってしまい,γ_εとは異なってしまいますが。。

それを異なるシートの上にあると考える.

> ?? すいません。"多価関数の分岐を選ぶ"とはどういう意味なのでしょうか?

各点各点で, 多価関数のどの値を選ぶかを指定するのです.

> 早速
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2825__00.jpg
> とφを定義してこれが一価になる事を示そうとしたのですが
> 出だしからどうすればいいのでしょうか
> (もしかして頓珍漢な事してるかもしれませんが)?

 u = r e^{i \theta}  (0 < r_1 \leq r \leq r_2, 0 \leq \theta \leq 2 \pi)
の各点において,
 u^{s-1}/(e^u - 1)
  = \exp((\log r + i \theta)(s-1))/(e^{r \cos \theta + i r \sin \theta} - 1)
という値を取ることにすれば良い.
勿論, \theta = 0 での値と \theta = 2 \pi での値は異なります.

> つまり,
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2825__00.jpg
> のようなφを選べばこのφは一価連続関数になるので
> 複素線積分が定義されるという訳ですね。

貴方の書き方では何が選ばれているのか分かりません.

> えっ!? 広義積分∫_{{x∈[ε_2,∞];Arg(x)=2π},∞→ε_2}u^{s-1}/(e^u-1)duを
> 実際に計算してみよという事でしょうか?

いいえ. 「評価」すれば宜しい.

> これはそう簡単に積分値が求まらないと思うのですがどうすれば 
> いいのでしょうか? 

「評価」は簡単に出来ます.
正の十分大きな実数 x について
 |x^{s-1}/(e^x -1)| \leq f(x) となる f(x) で
 \int_{\epsilon}^\infty f(x) dx < + \infty
となるものを見つけるだけです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp