工繊大の塚本です.

In article <jsfoj9$8qc$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 兎に角, f(ε):=∫_{C_ε} u^{s-1}/(e^u - 1) du は定数関数とはならないのですね。 

貴方の C_\epsilon が, 原点中心半径 \epsilon の円を
一周する路であるなら, その値は \epsilon で異なります.
私が述べた,

> In article <120626190151.M0123967@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 正の数 \epsilon に対して, C = C_\epsilon を,
> > 実軸を正の無限大から \epsilon まで進んだのち,
> > 原点中心半径 \epsilon の円上を一周し, 実軸を \epsilon から
> > 正の無限大まで進む路

であるなら, \int_{C_\epsilon} u^{s-1}/(e^u - 1) du は
 \epsilon に依りません.

> > f_s(u) = u^{s-1}/(e^u - 1) とするとき,
> > 0 < \epsilon_1 < \epsilon_2 に対して,
> > \int_{C_{\epsilon_2}} f_s(u) du - \int_{C_{\epsilon_1}} f_s(u) du
> > = \int_{\gamma_{\epsilon_2}} f_s(u) du
> >   - \int_{gamma_{\epsilon_1}} f_s(u) du
> >   + \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} f_s(x) dx
> >   - \int_{\epsilon_1}^{\epsilon_2} \exp(2 \pi i s) f_s(x) dx
> > となることに注意します. ここで \gamma_\epsilon は
> > 原点中心半径 \epsilon の円上を,
> > 実軸の正の部分との交わりから一周する路ですが,

この部分がきちんと理解していただけていないようで,

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/graph167.jpg

 \gamma_{\epsilon_2} の廻り方と,
 \gamma_{\epsilon_1} の廻り方が, いずれも
逆になっています.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__01.jpg

私は \int_{C_{\epsilon_2}} f_s(u) du - \int_{C_{\epsilon_1}} f_s(u) du
について述べたので, 貴方のとは逆です.

> という風に解釈すればいいのですね。

逆のものを考えるのであれば, 実軸上の路も逆方向に
しなければなりません.

> これから確かにγ_{ε_1}→ε_1→ε_2→γ_{ε_2}→ε_2→ε_1という積分路は
> 単純閉曲線となりますね。

貴方が図で記述している路では閉曲線になっていません.

> とりあえず
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_281__00.jpg
> として確かめてみました。Re(s)-1が整数倍となっていない場合は
> u^{s-1}は多価関数となるのですね。

 s - 1 が整数, つまり, Im(s) = 0 で Re(s) - 1 が整数
でなければ, u^{s-1} は多価です.

> > 従って, \int_{\gamma_{\epsilon_2}} f_s(u) du と
> > \int_{\gamma_{\epsilon_1}} f_s(u) du とが
> > 一致するわけではないので,
> 
> これらはγ_{ε_1}とγ_{ε_2}の半径が異なっているので
> その積分値も当然異なりますよね。

そんな議論では積分値が「当然」異なるとは言えませんよ.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/p167.jpg
> の二重連結領域でのCauchyの積分定理は
> 被積分関数がD∪C_1∪C_2で一価正則でなければ成立しないのですね。

はい.

> という事で
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__00.jpg
> の下2行の証明は被積分関数u^{s-1}/(exp(u)-1)が
> IsdC_ε∪C_ε\setminus OsdC_δにて一価ではないので
> 二重連結領域でのCauchyの積分定理はもはや使えなかったのですね。

はい.

> > 実軸の正の部分は二つの別のシートの上にあると考えて,
> > [\epsilon_1, \epsilon_2] + \gamma_{\epsilon_2}
> > + (- [\epsilon_1, \epsilon_2]) + (- \gamma_{\epsilon_1})
> > という閉曲線で囲まれた領域上とその周において
> > f_s(u) が一価正則であることを用いることになります.
> 
> えっと
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_127__04.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__02.jpg

だから, 今問題になっている路は, 貴方が書いている図のものとは
違います.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__03.jpg

向きが違うし, 閉じていない.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__04.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__05.jpg
> となったのですが,

だから駄目です.

> 前述で「u^{s-1} は円周上では一価にはならないので,」
> と仰ってますよね。なのに
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__05.jpg
> ではどうしてu^{s-1}/(exp(u)-1)は
> 単純閉曲線γ_{ε_1}→ε_1→ε_2→γ_{ε_2}→ε_2→ε_1及び内部で一価と言えるのでしょうか?

 u^{s-1} は原点で分岐しているのですが,
実軸の正の部分という原点から出る半直線で
複素数平面を切ったところでは一価正則になるからです.

> これも
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/graph167.jpg
> っぽい補助円を書き加えて考察するのかと思いますが
> 一体どのような補助円が要るのでしょうか? 

補助円なんて要りませんよ. もう一度素直に私が書いていることを
お読み下さい.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp