takahashi です。
　誰かが指摘するだろうと思っていたのだけれど、…
この問題、SHIRAISHIさんがはじめに提起した、
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【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n−μ)／(σ/√n)≦β}
は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．

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がすでに間違っているのではないか。なぜかというとその前段、
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「母集団の分布がどんなものであっても、ｎの値を充分大きくとれば、
Pr{a≦<Ｘ>n≦b} の値は {1／(σ/√n)(√2π)}∫[a,b]exp{-(x-μ)^2／2(σ^2／n)}
で近似できる。 但し、μ，σは、それぞれ、母集団の、平均値，標準偏差で、
<Ｘ>n は、母集団から繰り返しを許してｎ個選んだ値の平均とする」というのは、
≪経験法則≫であるから、これはこれでいいとして、これを数学的に定式化した
ものとされる、次の…

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で、ｎ→∞としたとき、{1／(σ/√n)(√2π)}∫[a,b]exp{-(x-μ)^2／2(σ^2／n)}
が1／(√2π)∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dtに収束するとは思えない。
積分の前の係数1／(σ/√n)と指数関数の中の分母(σ^2／n)はどこへ？

　常識的に考えても、nが大きくなるほど平均値<X>_nのバラつきは小さくなる。
ｎ→∞では分散が０になり、<X>_nは一定値に収束する。
その収束先がμに一致するというのが「中心極限定理」です。

上の被積分関数はディラックのデルタ関数(の一種）δ(ｘ-μ)に「収束」する。
(超関数（ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）としての収束)
したがって、問題の確率(積分)は区間[α,β]がμを含めば１、そうでなければ０に
収束
すなわち<X>_nはほぼ確実にμに収束するのです。
(「ほぼ確実」とは、「確率０の場合を除いて」のことです、念のため）。

＃上のことはさておいても、
　極限と確率(積分)の順序を変えて、
　　　　lim_(n→∞)Pr{　E_n　}  (確率の値の極限)と、
　　　　Pr{　lim_(n→∞)E_n　}　(極限事象の確率の値)が、
　一致すると決めてかかってよいものか？