ご回答大変ありがとうございます。

>> > C([a, b]) において, lim_{x→u+0} (f_{x,ε'} - f_{u,ε'}) = 0 ですから,
>> > lim_{x→u+0} L(f_{x,ε'} - f_{u,ε'}) = 0 です.
>> すいません。ここがわかりません。 lim_{x→u+0} L(f_{x,ε'} -
>> f_{u,ε'})=L(lim_{x→u+0} (f_{x,ε'} - f_{u,ε'})) =L(0)=0 (但し,L(0)の(C[([a,b])∋)0は値域0の定数関数)
>> となっているのかと思いますがどうして lim_{x→u+0} L(f_{x,ε'} -
>> f_{u,ε'}) =L(lim_{x→u+0} (f_{x,ε'} - f_{u,ε'})) と L(0)=0 が言えるのでしょうか?
> 前者は, L は「線形汎関数」である, と言ったときの暗黙の仮定です.

ここではLは線形汎写像ではなく,線形汎関数になっているのですか?
「Lを線形空間Vにおいて連続とする時、
LがVからRへの線形汎関数
⇔(def)
Lは線形写像をなす」
が暗黙を取っ払った定義なのでしょうか?

> C([a, b]) から R への「汎関数」としては C([a, b]) の
> 位相について連続なものを考えています.

つまり,Lが位相について連続であるとは
「∀t∈T (但し,TはRの通常の位相) ⇔(def) L^-1(t)∈T_c (但し,T_cはC([a,b])での位相)」
ですね。
C([a,b])の位相とはどういうものでしょうか?

> 後者 L(0) = 0 は線形性からの当然の帰結です.

 あっ! L(0)=L(f-f)=L(f)-L(f)=0ですね。分かりました。ありがとうございます。


>> [a,b]⊂[a',b]なる区間[a',b] (但し,a'<a)で f_{u,ε}(t)= 1  (a' ≦t≦x)、1-(t
>>  -x)/ε  (x <t<x+ε)、0  (x + ε≦t≦ b), (但し,a≦tとする) という風に
>> 定義域を拡張してやればいいだけの話でしたね。
> 今, F(b) は定義されていない, という話をしています.

x∈[a,b]において f_{ε,x}(t):= 1  (a ≦t≦x),
 1-(t -x)/ε  (x <t<x+ε), 0  (x + ε≦t≦ b),
がf_{u,ε}の定義でしたから
F(b)=lim_{ε→0}L(f_{b,ε})=lim_{ε→0}L(1)  (a ≦t≦b),
lim_{ε→0}L((1-(t -x)/ε))  (b <t<b+ε), lim_{ε→0}L(0)  (b + ε≦t≦ b)
=lim_{ε→0}L(1)=L(1)と求まりましたが。それでもF(b)は定義されていないのでしょうか?

> 大体, a' < a なる, を取ってきて, [a', b] 上の関数を
> 考えるのでは, それに対する L の値など決まりません.

f_{u,ε}はu∈[a,b]⊂[a',b]において f_{ε,u}(t):= 1  (a'≦t≦u)、
1-(t -u)/ε  (u <t<u+ε)、 0  (u + ε≦t≦ b)
と定義できてF(u)=lim{ε→0}L(f_{a,ε}) (a'≦u<aの時)、
lim{ε→0}L(f_{u,ε}) (a≦u≦bの時)
とすれば一応,Fは[a',b]で単調加やnormalizedになっていると思いますが。
このやり方では無理でしょうか?

何故このような事を考えるかと言うとμ([a,b])<∞を示したいのですが既にご承知の通り,Theorem3.5では
μ((a,b])=F(b)-F(a)としてしか書き表せないのでμ((a,b])<∞は言えるがμ([a,b])<∞はどうなるか判定できない。
それでμ({a})=F(a)と定義してしまえばよいと仰ったのですが何故このように定義できるのかしっくり来ませんで。
μ({a})=0とかμ({a})=1とか定義しても差し支えないのでしょうか?

> F(b) は f_{u,ε} を使っては定義されないので,
> F(b) = L(1) と決めようというわけです.

上記の私の計算通りになってます。

>> それなら別にμ({a})の値を知らなくても困りませんね。
> F(a) は決まっているので,

F(a)=lim_{ε→0}L(f_{b,ε})=lim_{ε→0}L(1)  (a ≦t≦a),
lim_{ε→0}L((1-(t -x)/ε))  (a <t<a+ε), lim_{ε→0}L(0)  (a + ε≦t≦ a)
=lim_{ε→0}L(1)=L(1)ですね。確かに決まってますね。

>それで μ({a}) を定めます.

μ({a})=F(a)とするのですよね。何故こう決めていいか分かりませんが。


>> μはFから定義される測度,,,? 今,[a',b}で単調増加&normalizedな関数Fが採れたので
>> Theorem3.5から (x,y]⊂[a',b']に対してμ((x,y])=F(y)-F(x) (但し,x<y)なる μが採れるので
>> すよね。
> μ((x, y]) = F(y) - F(x) から (a, b] 上の測度が決まり,
> 更に, μ({a}) = F(a) とすることにより, [a, b] 上の測度が
> 決まります.

ふーむ。これは興味深いですね。
Theorm3.5適用直後はμは(a,b]での測度になってますから(a,b]上では測度になっているでしょうが
[a,b]でも測度になっているかは不安ですね。
念の為,μが[a,b]の測度になっているかチェックしてみますと,
Fは単調増加でF(a)=L(1)≧0なので非負。
従って,μ([a,b])⊂[0,∞]を満たしていますね。
可算加法性は例えばμ({a}∪(a,b])=F(a)+F(x)-F(a)
とどうして書けますでしょうか?

ここがμ({a}):=F(a)と定義していいのかの具体的な疑問点ですね。
[a',b]で拡張しておいてTheorem3.5を適用してできた測度μなら[a,b]もカバーしてくれているので[a,b]ででも測度になってくれ
てますが。これが私が[a',b]に拡張したがった理由です。

>> μ({b})=μ((a,b]＼lim_{n→∞}(a,b-1/n})
>> =μ((a,b])-μ(lim_{n→∞}(a,b-1/n})(∵可算加法性)
>> =μ((a,b])-lim_{n→∞}μ((a,b-1/n])(∵(a_,b-1/n) は単調増加列なので以前の命題より)
>> =F(b)-F(a)-lim_{n→∞}(F(b-1/n)-F(a))=F(b)-F(a)-lim_{n→∞}F(b-1/n)+F(a)
>> =F(b)-lim_{n→∞}F(b-1/n) となってしまいますが。勘違いしてますでしょうか?
> F(b) は L(1) で決めたので, = L(1) - lim_{u→b-0} F(u)
> となります. 問題ありませんね.

なるほど。仰るとおりうまくいってます。


>> [a',b}に拡張しても同様の結果が得られました。
> そんな拡張には意味がありません.

そうですか。。

>> 申し訳ありません。どのようにして = lim_{n→∞} lim_{ε→0}
>> L(Σ_{i=1}^{k,n} a_{i,n}(f_{d_{i,n},ε}-f_{c_{i,n},ε})) からL(f)に辿り着けますでしょうか?
> だからそのままでは駄目ですね.
> 先ず, f ∈ C([a, b]) は一様連続ですから,

命題「閉区間で連続なら一様連続」からそう言えますね。

> 区間 [a, b] を
> 十分小さく等分割すれば, 各区間の上で区間での最小値を取る
> 単関数で一様に近似できます. その単関数 ψ は連続関数では
> ありませんが, 正数 ε について, 各点 x での値を ψ の
> [x - ε/2, x + ε/2] での平均に置き換えたもの

うーん。すいません。ちょっと意味がよく分かりませんでした。

> ψ_ε は
> 連続関数になり,

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/rough_graph_20090313.jpg
がψ_εになりましょうか?いや、違いますよね。

各点って任意のx∈[a,b]の事でしょうか?
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/pusai_30090313.jpg
それの平均値とはどういう事でしょうか?
でも両端でψ_ε(a) = ψ(a),ψ_ε(b) = ψ(b)となるんですよね。
すいません。どんなグラフなんでしょうか?

> ε が十分に小さければ, ε によらず一様に
> f を近似します. L の連続性から

線形汎関数の定義からLは連続なのですね。

>  L(ψ_ε) は L(f) に近い.
> # ψ は [a, b] の外側では a, b での値に等しいとして
> # 拡張しておいて, 平均をとることにして, ψ_ε(a) = ψ(a),
：
> が分かる, というのがあらすじです.

大変恐縮です。
 L(f)=lim_{N→∞}lim_{ε→∞}L(ψ_ε)
=lim_{N→∞}Σ_{i=1}^{N-1} (min_{x∈[a+(i-1)(b-a)/N, a+i(b-a)/N]} f(x))
           ×μ([a+(i-1)(b-a)/N, a+i(b-a)/N))
               + (min_{x∈[a+(N-1)(b-a)/N, b]} f(x))
                  ×μ([a+(N-1)(b-a)/N, b]
=∫_a^b f(x) dμ(x)
という構図になるのですね。

> # きちんと書き直すのはやって下さい.

はい。チェックしてみたいと思います。

>> え!? どうしてですかBorel集合は簡単には書き表せない複雑な集合なのですよね。
>> 任意の区間で一致するならBorel集合体でも一致すると簡単に言えるとは 到底思えませんが。。
> それが簡単に思えるように, 測度論を学ばれて来たのでは
> ないのですか.

すいません。申し訳ありません。 でも示すなるとどうなりましょうか?

>> ,,,という事はπ-systemの補題は愚補題なのでしょうか?
> 補題が愚なのではありません.

では一体何が…?

>>> # ま, 一般論としては, 区間の全体が, π-system で,
>> これは認めますが
>> > # Borel 集合体を生成しているので,
>>                   ^^^^^^^^^^^^ {t∈T;TはRの通常の位相}=B(R)が成り立つのですか?
> まさか. 「生成」が抜けていますよ.

そうですね。この生成が曲者でBorel集合体を複雑極まりない無いものに仕立てあげているので
π-systemの補題の存在意義があるのでは。。?