工繊大の塚本です.

In article <8286457f-c5d5-4ea7-b860-b3eec3d76dfd@r36g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 論理的にややこしい事はやはり集合で表せば見通しがよくなりますので(私は)。
> 集合で題意を記述させてもらいますと題意は
> 
> 『集合Bを
> B:={μ;μはR上の有限なBorel測度で
>        Lは∀f∈C([a,b])に対し,L(f) =∫_a^b f(x) dμ(x)を満たすpositive&線形}
> と置くと,
> B≠φ(存在性)である事,
> |B|=1(一意性) (但し,| |は集合の元の個数を表す)である事,
> という2つを示せ』
> 
> という解釈でよろしいでしょうか?
> (私はこのように解釈しております)

 L を与えられた positive 線形汎関数とする時,
 B = { μ | μ は [a, b] 上の有限な Borel 測度で,
            M(f) = ∫_a^b f(x) dμ(x)  (f ∈ C([a, b])) とすると,
            M = L. }
と置くと, B ≠ φ, |B| = 1 を示せ, ですね.

> In article <090302185729.M0107353@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > Hint の構成で F を定義できること, F が単調増加であり,
> > 右連続であること, その F を用いると, L(f) = ∫_a^b f(x) dF(x)
> > と書ける
> 
> この時,Lはpositive&線形汎になってて,

無論, L は最初に positive 線形汎関数を取って, 固定している
のです.

> F(x)は有限Borel測度μも定めるのでとりあえず題意を満たすμが採れ,
> 存在性は言えるわけですよね(勿論,逐一証明は必要でしょうが)。

従って, L → F → μ → M と定めた positive 線形汎関数 M が
元の L と一致することを示すところが key point です.

> ここでやはり混乱してしまいます。
> 上記の集合での題意の記述の理解で正しいでしょうか?
> (まず題意の解釈が先決なようです)

何か混乱がありますでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp