工繊大の塚本です. 元に戻りましょう.

In article <ddfc22cd-1831-448c-981a-b00e7ebf2b00@r27g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 問題9は
> 
> 「Let C([a,.b]) denote the vector space of continuous functions on the
> closed and bounded interval [a,b].
> Suppose we are given a Borel measure μ on this interval,with μ([a,b])
> <∞. Then
> f→L(f)=∫_a^b f(x) dμ(x)
> is a linear functional on C([a,b]),with L positive in the sense that L
> (f)≧0 if f≧0.
> Prove that,conversely,for any linear functional L on  C([a,b]) that is
> positive in the above sense,there is a unique finite Borel measure μ
> so that L(f)=∫_a^b fdμ for f∈C([a,b]).

 positive な線形汎関数 L: C([a, b]) → R に対して,
([a, b] 上の)唯一つの有限 Borel 測度 μ があって,
 L(f) = ∫_a^b f dμ (f ∈ C([a, b]) となる,
ことを示せ, というわけです.

 L という線形汎関数から, 逆に, μ という測度が定まる,
ことを示さないといけません.

 L からその μ をどう構成すれば良いかは, Hint に
書いてあります.

> [Hint: Suppose a=0 and u≧0. Define F(u) by F(u)=lim_{ε→0} L(f_ε),where
> f_ε(x)=1(for 0≦x≦u), 0(for u+ε≦x)
> and f_ε is linear between u and u+ε.(See Figure 3.) Then F is
> increasing and right-continuous,and L(f) can be written as ∫_a^b f(x)dF
> (x) via Therem3.5.]

 Hint の構成で F を定義できること, F が単調増加であり,
右連続であること, その F を用いると, L(f) = ∫_a^b f(x) dF(x)
と書けることは, この問題を解く貴方が示さなければなりません.
 Hint はあくまでも Hint で, 解答ではないのです.

 F から決まる μ が, L(f) = ∫_a^b f(x) dμ(x) を満たす
唯一つの測度である事は, 難しくありません. それで Hint にも
書いてないのです. 実際, その部分は既に私が書いたもので説明
しているようなものです.

In article <7c887881-440e-4f9b-a8e9-1d7ecceee1c8@g38g2000yqd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [証]
> normalizedな増加関数Fが採れれば,

先ず, Hint の F が定まり, 右連続な増加関数になることを,
 L が positive な線形汎関数であることだけから示しましょう.
但し, ここでは線形汎関数としては, 連続なものだけを考えています.
つまり, f_n, f ∈ C([a, b]), f_n → f (n → ∞) のとき,
 L(f_n) → L(f) となることは仮定されています.

> μ((a,b]):=F(a)-F(b)とするとこのμはBorel測度となっている
> (∵Theorem3.5)
> その時,(c,d]⊂[a,b] (a≦c<d≦b)ならF(d)-F(c)=μ((c,d])
> (∵theorem3.5でのμの定義) =μ
> ([a,d])-μ([a,c])(∵可算加法性)なので
> x∈(a,b]に対し,F(x)=μ([a,x])と書ける。
> そして,次にμ∈Bとなるとなる事を示す。
> μがBに含まれるには任意のf∈C([a,b])に対し,
> L(f)=∫_a^b fdμというLがpositive&線形汎写像である事を示せばよい。

違います. M(f) = ∫_a^b f dμ で与えた positive 線形汎関数 M が,
最初に与えられた positive 線形汎関数 L と一致することを
示さなければなりません.

目標は御理解いただけましたでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp