ご回答大変ありがとうございます。


> L を与えられた positive 線形汎関数とする時,
> B = { μ | μ は [a, b] 上の有限な Borel 測度で,
>            M(f) = ∫_a^b f(x) dμ(x)  (f ∈ C([a, b])) とすると,
>            M = L. }
> と置くと, B ≠ φ, |B| = 1 を示せ, ですね.

理解できました。


> 無論, L は最初に positive 線形汎関数を取って, 固定している
> のです.

L(f)の像は具体的には分からずただ,positiveな線形汎なのですね。
それでM=Lなるμを見つけてやるのですね。


> 従って, L → F → μ → M と定めた positive 線形汎関数 M が
> 元の L と一致することを示すところが key point です.

了解いたしました。

では存在性B≠φを示してみます。具体的にμ∈Bなるμを採ってやればいいのですよね。
a ≦ u < b なる u と u + ε < b なる正数 ε について, f_{u,ε}を
f_{u,ε}(x) = 1  (a ≦ x ≦ u),
f_{u,ε}(x) = 1 - (x - u)/ε  (u ≦ x ≦ u+ε),
f_{u,ε}(x) = 0  (u + ε ≦ x ≦ b),

と採り,
F(u):=lim_{ε→0}∫_a^b f_{u,ε}(x)dxと採ってやると
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/f_u_graph.jpg
というグラフになるのでこのFは[a,b]間で連続なので(勿論,右連続でもあるので)明らかにnormalized&増加である。
従ってTheorem3.5が使えて,μ((x,y])=F(y)-F(x)なるBorel測度μが採れる
するとF(x)=F(x)-0=F(x)-F(a)=μ((a,x])と書ける。
また、a≦c<d≦bならμ((c,b])=μ([a,d])-μ([a,c])なので
μ([a,d])-μ([a,c])=F(b)-F(a)と書ける。

>因みに, F(a) = μ({a}),

これはどうしてでしょうか?
今,F(x)=μ((a,x])なのでF(a)=μ((a,a])からμ({a})が言えませんが。

>  μ({b}) = L(1) - lim_{u→b} F(u) です

もどのようにして導かれたのでしょうか?

とりあえず先に進むと,,,
このμがBに属する事を言うには,∫_a^b f(x)dμがpositive&線形汎なfについての関数である事を言えばいいのですよね。
任意のf≧0を採ると∫_a^b f(x)dμ=∫_a^b f(x)dμ(x)=∫_a^b f(x)dF(x)=∫_a^b f(x)dx
(∵http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/F_u.jpg)
≧0(∵Riemann積分の定義)
線形性も
∫_a^b (f(x)+g(x))dμ=∫_a^b (f(x)+g(x)dx=∫_a^b f(x)dx+∫_a^b g(x)dx
(∵Riemann積分の性質)
=∫_a^b f(x)dμ+∫_a^b g(x)dμ.
∫_a^b αf(x)dμ=c∫_a^b f(x)dμも容易に言えますね。
よって∫_a^b f(x)dμがpositive&線形汎が言えた。
μ([a, b])=F(b)-F(a)=b-a
(∵http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/F_u.jpg)
<∞.  よってμは有限.
よってμ∈B..

次に一意性|B|=1を示す。
μ,ν∈Bだとするとμ,νは有限なBorel測度で
∫_a^b f(x)dμ,∫_a^b f(x)dνはpositveな線形汎になるようなfについての関数である。
その時,∫_a^b f(x)dμ=∫_a^b f(x)dνでμ=νを導かねばならないのですが
Theorem3.5の十分性「有開区間で有界なBorel測度μが与えられれば
F(x):=μ((0,x])(x>0の時),0(x=0の時),-μ((-x,0]) (x<0の時)と表される」
を使うのかと思いますがこのFは一意的にはどうかは言及されてません。

よって,∫_a^b f(x)dμ=∫_a^b f(x)dν,更にはμ=νは言えません。

どうすればμ=νが導けますでしょうか?

吉田京子