ご回答大変ありがとうございます。

>> U_{m,n}:=nbhd(x_m,r_n):=[max{0,x_{m,1}-r_n]×Π_{i=2}^d[x_{m,i}-r_n,x_
>> {m,i}+r_n]
> 第一成分が [max{0,x_{m,1}-r_n] で, 区間にもなっていません.

こりゃ失礼いたしました。(max{0,(x_{m,1}-r_n)),x_{m,1}+r_n)と書きたかったのでした。

> # それ以前に中カッコの対応が取れていない.
> 残りも [x_{m,i}-r_n,x_{m,i}+r_n] という「閉」区間では困ります.

すいません。そうでした。openでなければいけませんでした。d次元立方体でyを閉じ込める事ばかり考えておりました。

([x_{m,i}-r_n,x_{m,i}+r_n)ですね。

>> (但し,x_m:=(x_{m,1}×{m,2}×…x_{m,d}))
> 積空間の「座標」なら x_m = (x_{m,1}, x_{m,2}, ... , x_{m,d})
> と書くものでしょう.

これもすいません。あれ〜。とにかく仰る通りでございます


>> と置き(最右辺は立方体形近傍を表しています)
>> {U∈{U_{m,n};m,n∈N},U⊂ψ(E)}で添数の組(m,n)が若いものからV_1,V_2,…
>> らラベリングしていけば∪_{i=1}^∞ V_i⊃ψ(E)となる。
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/nbhd_cube_20090307.jpg
>> これでいかがでしょうか?
> 後は無限遠点の処理ですね.

わぉ。ありがとうございます。
y=(y_1,∞,∞,…,∞)の場合はnbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞)
⊂ψ(E)なる0<δ∈Rが採れる。
(∵無限遠点の開集合の定義)
この時,nbhd(y,2r_n)=(max{0,y_1-1/(2r_n)},y_1+1/(2r_n))×Π_{i=2}^d (2r_n,∞)
⊂nbhd(y,δ)なる正の有理数r_nが採れる。
(∵有理数の稠密性)
そしてこの時,
x_m:=(x_{m,1},x_{m,2},…,x_{m,d})∈(max{0,y_1-1/(2r_n)},y_1+1/(2r_n))×Π_
{i=2}^d (2r_n,∞)なる有理点x_mが採れる。
従って,y∈nbhd(x_m,r_n)⊂nbhd(y,δ)⊂ψ(E)となる。
{U∈{U_{m,n};m,n∈N},U_{m,n}⊂ψ(E)}で添数の組(m,n)が若いものからV'_1,V'_2,…
とラベリングしていけば∪_{i=1}^∞ V'_i⊃ψ(E)となる。
更に,y∈R^+×R^{d-1}の場合と同時に考えて,交互に
V''_1:=V_1,V''_2:=V'_1,V''_3:=V_2,V''_4:=V'_2,…とラベリングしていけば漏れなくてψ(E)を覆える
d次元開立方体が採れる。

というやり方で大丈夫でしょうか?