たびたびすいません。いつも大変お世話になっています。

Support R^d＼{0} is represented as R_+ × S^{d-1},with R_+:={0<r<∞}.
Then every open set in  R^d ＼{0} can be written as a countable union
of open rectangles of this product.
[Hint: Consider the countable collection of rectangles of the form
{r_j<r<r'_k}×{γ∈S^(d-1);|γ-γ_l|<1/n}.
Here r_j and r'_k range over all positive rationals, and {γ_l} is a
countable dense set of S^(d-1).

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem12.jpg

というプリントからの問題です。証明問題だと思います。

S^{d-1}はR^d内での単位球面(S^{d-1}:={x∈R^d;||x}=1)で
r=|x|, γ=x/|x|です。

{r_j<r<r'_k}×{γ∈S^{d-1};|γ-γ_l|<1/n}は詳しく書くと
{r∈R;r_j<r<r'_k}×{γ∈S^({d-1};|γ-γ_l|<1/n}.で即ち,極座標を表しています。
rはr_iより長くr'_k未満のアームでγはγ_lからの距離が1/n未満で終点がS^{d-1}上にあるd次元ベクトルの事です。
そして,{γ_l}は可算稠密集合だというのだから{γ_l}=Qとなっているのだと思います。
rectangleの定義は「E=A×Bがrectangle ⇔A∈M_1,B∈M_2 (M_1,M_2はσ集合体)」だと思います。

このとき,族C:={{r∈R;r_j<r<r'_k}×{γ∈S^({d-1};|γ-γ_l|<1/n};0<r_i,r'_k∈Q,γ_l∈Q}
が実はrectangleの族になっていて
(つまり,{r∈R;r_j<r<r'_k}∈M_1,{γ∈S^({d-1};|γ-γ_l|<1/n}∈M_2,ここでM_1は1次元のルベーグ集
合体,M_2はd次元のルベーグ集合体)
任意の開集合U∈T (TはR^dの通常の位相)がCの可算個元の和集合で表される。。。。
というのがヒントの意図する事だと思います。

実際に∪_{λ∈Λ}Π_{λ_i=1..d}(a_{λ_i},b_{λ_i})∈T (但し,Λは添数集合)を取ってみてもこれは非可算個の直積集
合の和集合なら成っているので
到底,Cの可算個の元
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/frustrum_of_cone.jpg
で表す事など不可能のように思うのですが…。

どのようにすれば表せますでしょうか?

吉田京子