ご回答大変ありがとうございます。


> どうも, 有理数をどう使うのかが明確ではありませんね.
> 今, 求められているのは, R^d＼{O} を R^+×S^{d-1} だと
> 考えて, その開矩形 (a, b)×U, 0 < a < b, U ⊂ S^{d-1}, open
> の可算和で E を書き表すことです.
> q_n は a, b の指定, U の指定とどう関係するのですか.

申し訳ありません。再度考えてみました。
正の有理数列
r'_1=1,r'_2=1/2,r'_3=2,r'_4=1/3,r'_5=3,r'_6=1/4,r'_7=2/3,r'_8=3/2,r'_9=4,
…
r_1=0,r_2=1,r_3=-1,r_4=1/2,r_5=-1/2,r_6=2,r_7=-2,r_8=1/3,r_9=-1/3,r_10=3,r_11=-3,r_12=1/4,r_13=-1/4,
r_14=2/3,r_15=-2/3,r_16=3/2,r_17=-3/2,r_18=4,r_19=-4,…
という風に並べれば網羅できる事は分かりました。
よってx'_n:=(q_1,q_2,…,q_d)をどのように並べるかは
y_1軸の有理点→r'_1,r'_2,…
y_2軸の有理点→r_1,r_2,…
y_3軸の有理点→r_1,r_2,…
：　　：
y_d軸の有理点→r_1,r_2,…

でx'_1は(r'_1,r_1,…,r_1),x(_2からx'_{2^d-1}までは
r'_1,r'_2,
r_1,r_2,
r_1,r_2,
：　　：
r_1,r_2,
から(r'_1,r_1,…,r_1)を除いて順序良く選んでいけば,x'_{2^d-1}までの有理点の列が採れる。
x'_{2^d}からx'_{3^d-(2^d-1)-1}は
r'_1,r'_2,r'_3
r_1,r_2,r_3
r_1,r_2,r_3
：　　：
r_1,r_2,r_3
からx'_1からx'_{2^d-1}を除いて順序良く選んでいく。
これの作業を繰り返していくと,R^+×R^{d-1}内の有理点を漏れなく網羅する事ができる。

そして{x'_1,x'_2,…}の中からψ(E)に含まれるものを添数が若い順からx_1,x_2,…とラベリングし直す.
U_{m,n}:=nbhd(x_m,r_n)と置き,{U∈{U_{m,n};m,n∈N},U⊂ψ(E)}で添数の組(m,n)が若いものから
V_1,V_2,…
らラベリングしていけば∪_{i=1}^∞ V_i⊃ψ(E)となる。


> だから, 点と同じ番号の r_n を取るのではありませんね.
> 点も可算個, r_n も可算個で, その全ての組が可算個で
> あるとして, 番号を付け直すのですね.

さようです。R^+×R^{d-1}内の有理点で半径が有理数の開球全体を表すのです。


> 最初に与えられた nbhd はどうも不都合なところがありそうですから,
> 先ず, S^{d-1} には R^{d-1} の有理数点に対応する, 可算個の
> 稠密な点列 p_n があることを認め, 正の有理数 r, s, t で
> r < s, t ≦ 2 を満たす組を取って,
>  nbhd(n, r, s, t) = (r, s)×B_t(p_n) ⊂ R^+×S^{d-1}
>  B_t(p_n) = { p ∈ S^{d-1} | |p - p_n| < t }
> を考えることにしましょう. これは矩形であり, それらの全体は
> 可算個ですから, それを U_i と並べておくことにして,
>> そして{U⊂ψ(E);U∈{U_1,U_2…}}
> そう, U ⊂ ψ(E) という条件を満たすものだけを取る,
> 満たすものは全て取る, ということを明らかにして
> おかないと議論が始まりません.

納得です。

>> の元の中でラベルが一番若い近傍をV_1,二番目に若い近傍をV_2,…という風に ラベリングし直していくと,,,
> ψ(E) に入る nbhd(n, r, s, t) の形の開矩形を V_i として
> 並べれば,
>> ∪_{i=1}^∞ V_i = ψ(E)となるのが主張です。
> ∪_{i=1}^∞ V_i ⊂ ψ(E) は保証されます.

そうです。


>> まず,y:=(y_1,y_2,…,y_d)∈ψ(E)∩R^dを採ると,
>> 0<∃δ∈R;nbhd(y,δ)⊂ψ(E)(∵開集合の定義)。 その時,0<r_n<δ/2なる有理数r_nが採れる(∵有理数の稠密性)。
>> その時,x:=∃(x_1,x_2,…,x_d)∈nbhd(y,r_n) (∵有理数の稠密性)。
>> するとy∈nbhd(x,r_n)⊂ψ(E)でnbhd(x,r_n)=V_iなる番号iが存在するので

> どうしてでしょうか. 貴方の言う nbhd(y, δ) とか
> nbhd(x, r_n) とかが, どのような開矩形であるかが
> どうもはっきりしないので,

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/neighbourhoo_20090304.jpg
のようになります。nbhd(y,δ)⊂ψ(E)なるnbhd(y,δ)が必ず採れるので(∵開集合の定義)

>  nbhd(y, δ) ⊂ ψ(E),
>  0 < r_n < δ/2,
>  x ∈ nbhd(y, r_n)
> から y ∈ nbhd(x, r_n) ⊂ ψ(E) が出て来るように作って
> あるかどうかが判断できません.

上図ではどうでしょうか?


> # 開矩形というのは, 中心からの距離が r より小さな
> # 点の集まりである開球とは違います.

開矩形でなく開球で考えております。
nbhd(y,δ)⊂ψ(E)が採れれば,r_n<δ/2なる正の有理数r_nが採れ,
x_m∈nbhd(y,r_n)なる有理点x_mが採れる。その時,nbhd(x_m,r_n)=V_i (i∈N)なるV_iがあり,
上図よりy∈V_iとなっている。
という考えでございます。


> こういう問題のときは細部をきちんと述べなければ
> 何を言ったことにもなりません.

誠に申し訳ありません。