ご回答大変有難うございます。遅くなってしまいまして申し訳有りません。


>> そうしますと単調減少関数だからルベーグ可測関数という訳ではなく,
>> mのαについての原像が区間になってるから
>> mはルベーグ可測関数なのですね。
>  α の関数として m(E_α) が単調減少であるから,

α_1<α_2ならE_{α_1}⊃E_{α_2}なので(∵E_αの定義)測度の定義(単調性)から
m(E_{α_1})≧m(E_{α_2}).  ∴ mは単調減少
となるのですね。

>  { α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r } は区間となるのです.
> だからルベーグ可測関数であるという論理の流れです.

r≦0の時は,{α∈[0, ∞) | m(E_α)>r}=[0,∞)=R＼∪[i=1..∞](0,-i)と書けるから
σ集合体の定義から R＼∪[i=1..∞](0,-i)∈Σ。
よってやはり{ α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r }はルベーグ可測なのですね。

>>> m(E_α) ≧ g_n(α) となる非負な単調増加単関数列 g_n として,
>>> g_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}
>>> を取れば,
：
>    = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure.jpg
のように
g_n(α)は単なる階段状の関数だったのですね。
採れるもへったくれもないですね。採れるのは当たり前なのですね。


> という不等式が成立することのみを確認して,
>   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα ≧ ∫_{R^d} |f(x)| dx
> を導いたわけです.

図よりそのようになりますね。


>> とルベーグ積分の定義を単関数列から単関数族へ
>> 拡張なさったのでしょうか?
> ルベーグ積分の定義としては, どちらもあります.

有難うございます。憶えて置きます。


> 同値性も証明できます. 単関数列で定義した場合には
> 単関数列の取り方によらずルベーグ積分の値が定まる
> ことを示すのに,
>   f, g_n が非負単関数で, g_n が単調増加で,
>   lim_{n→∞} g_n ≧ f のとき,
>   lim_{n→∞} ∫_E g_n dμ ≧ ∫_E f dμ
> といった類の補題が示されている筈です. それを使え
> ば容易です.

有難うございます。チェックしてみます。


>> 所で lim_{α→∞}m(E_α)=0となる理由は
>> 「lim[α→∞]E_α=φでしょうからlim[α→∞]m(E_α)=0となる」
>> という短絡的(?)な理由で宜しいでしょうか?
>  lim_{α→∞} E_α が ∩_α E_α のことであれば,
>  f は ∞ を値として取らないとしておけばそうですが,

fは∞を採らないとは限らないんですよね。


>> もしlim[α→∞]E_α≠φなら∫_{R^d} |f(x)|dx=∞で
>> これはfがR^dでルベーグ積分可能である事に反しますよね?
>  m(E_α) ≦ (1 / α) ∫_{R^d} |f(x)|dx から
> 明らかですね.

これはm(E_α) ≦ (1 / α) ∫_{R^d} |f(x)|dx <∞だからm(E_α)は単調減少は明らかという意味でしょうか?
すいません。m(E_α) ≦ (1 / α) ∫_{R^d} |f(x)|dxという不等式は何処から来ているのでしょうか?(何故1/α倍?)


>>∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
>>となるものがあります. 互いに交わらない可測集合 A_k と
>> m_k > 0 について,
>>  g = Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}
>> とします. lim_{α→∞} m(E_α) = 0 ですから,
>> s_k = sup A_k < ∞ です. s_k = max A_k ならば
>> t_k = s_k とし, そうでないときには十分に s_k
>> に近い t_k < s_k をとれば

今,∫_{0..∞}m(E_α)dα≧∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
でA_1,A_2,…,A_Nは互いに素で
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
のようになっているんですよね。
だからs_k=maxA_kでないならばs_k=supA_kととればいいだけの事のことではないでしょうか?その時,m(E_{A_k})=m_kと
なると思います。
「十分にs_kに近い…」の意味がよく分かりません。


>>> h = ∨_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(0, t_k]}
>>> についても ∫_{[0, ∞)} h(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
：
>  (0, t_k] らは重なっていますので, その重なりのところでは
>  m(E_{t_k}) らの中で一番大きな値を取ることにしよう
> というわけです.

うーん,どうして重なるように採るのでしょうか?

> 0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N と並べれば
>  h = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(t_{k-1}, t_k]}

これから
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
の階段状の関数gとhは一致すると思います。


>> 今,積分範囲は(0,∞)で議論してたのに最後でR^dに
>> どうしてすり返れるのでしょうか?
> これは前半で,
>   f_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{E_n}
> という R^d 上の非負単関数に対して,
>   g_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}
> という [0, ∞) 上の非負単関数を取ると,
>   ∫_{R^d} f_n(x) dx
>    = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
>    = ∫_[0, ∞) g_n(α) dα

つまり,∫_[0,∞)h(α)dαは
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure1.jpg
の柱状グラフ部分の面積になるのですよね。


> となったことと同様のことを逆方向に考えているのです.
> この対応がこの話の要です.

「∫_{R^d} f_n(x) dx
 = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
 = ∫_[0, ∞) g_n(α) dα」
は積分範囲を全く無視して変形してあるように受取れますが。

∫_{R^d} f_n(x) dx
から
 = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
の変形も
Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1/2^n
から
 ∫_[0, ∞) g_n(α) dα
の変形も積分範囲は考慮されていないようですが…。


>>>  Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}
>>>  ≦ |f|
>>> ですから,
>> すいません。最後で「≦|f|」が突然現れているのが分かりません。
>> どうして「≦|f|」なのでしょうか?
>> Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}は|f|の
>> standard representationだからですか?
> 単に |f| で上から押さえられている単関数であることを
> 述べているだけです.

Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}は|f|で抑えられて
いるという事はどうして分かるのですか?

> |f| は単関数ではないですね.

それはわかります。


>  0 < t_1 < t_2 < … < t_N と仮定しましたから,
>  1 ≦ k ≦ N-1 の k について
：
>  = 0 ≦ |f(x)| ですね.

うーん、ちょっと複雑です。すいません。少し考えさせて下さい。



類題を見つけました。それによると

∫_{R^d}|f(x)|dx=∫_{R^d}(∫_R 1_[0,|f(x)|] (α) dα)dx
(∵∫_R 1_[0,|f(x)|] (α) dy=1・m([0,|f(x)|])(∵特性関数の積分の定義
 =1・(|f(x)|-0)=|f(x)|)

=∫_R(∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα
(∵ルベーグ測度空間(R^d,M_d,m_d),(R,M_1,m_1)に於いて,
今,1_[0,|f(x)|] はσ({A×B;A∈M_d,B∈M_1})~可測
(但し,σ({A×B;A∈M_d,B∈M_1})~は完備化された測度空間)
で,1_[0,|f(x)|]≧0なのでFubiniの定理より)

=∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα (∵??)
=∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx)dα
=∫_0^∞ (m(E_α))dy

となるかと思います。
1_[0,|f(x)|]がσ({A×B;A∈M_d,B∈M_1})~可測である事は特性関数の性質から直ぐに分かります。
∫_R(∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα
から
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα
と積分範囲を変形できるのは何故なのでしょうか?

そして
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα
から
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx)dα
の変形についてですが…
αと|f(x)|の色々な場合で1_[0,|f(x)|] (α)と1_[α,∞] (f(x))の関数値が一致するか吟味してみましたら
0≦α≦|f(x)|の時,1_[0,|f(x)|] (α)=1_[α,∞] (f(x))=1,
|f(x)|<αの時,1_[0,|f(x)|] (α)=1_[α,∞] (f(x))=0ですが
α<0≦|f(x)|の時は1_[0,|f(x)|] (α)=0,1_[α,∞] (f(x))=1
となって一致しません。
どうして
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[0,|f(x)|] (α) dx)dα
から
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx)dα
の変形が可能なのでしょうか?

最後に
∫_0^∞ (∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx)dα
から
∫_0^∞ (m(E_α))dy
の変形についてですが前者は
∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx=1・m([α,∞])=1・∞=∞.
となってしまいますが後者
m(E_α)=m({x∈E;|f(x)|>α})の値は∞になるのかどうか判定し兼ねます。
∫_{R^d} 1_[α,∞] (f(x)) dx
から
m(E_α)
の変形がどうして可能なのでしょうか?


吉田京子