どうもご回答大変有難うございます。


> # どうやら, 貴方の記事本体が utf-8 で書かれて, base64 encode
> # されていた為か, nntp.motzarella.org には届かなかったようです.
> # aioe.org で見つけました.

すいません。よくわかりませんがなんか複雑なんですね。


>>>    = lim_{n→∞} (Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})
>>>                   - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n})
：
>   = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n})
> となります.

Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})- Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n
m(E_{i/2^n})+ n m(E_n)
=0/2^n m(E_{0/2^n})+1/2^n m(E_{1/2^n})+…+n2^n/2^n m(E_{n2^n/2^n})
-(1 - 1)/2^n m(E_{1/2^n})-(2- 1)/2^n m(E_{2/2^n})-…-(n2^n - 1)/2^n
m(E_{n2^n/2^n})+n m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+2/2^n m(E_{1/2^n})+…+n2^n/2^n m(E_{n2^n/2^n})
-(2- 1)/2^n m(E_{2/2^n})-(3- 1)/2^n m(E_{3/2^n})-…-(n2^n - 1)/2^n
m(E_{n2^n/2^n})+n m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+2/2^n m(E_{1/2^n})+…+(n2^n-1)/2^n m(E_{(n2^n-1)/
2^n})
-1/2^n m(E_{2/2^n})-2/2^n m(E_{3/2^n})-…-(n2^n - 1)/2^n m(E_{n2^n/2^n})
+n
m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+1/2^n m(E_{2/2^n})+
…+1/2^n m(E_{(n2^n-1)/2^n})-(n2^n - 1)/2^n m(E_{n2^n/2^n})+n m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+1/2^n m(E_{2/2^n})+
…+1/2^n m(E_{(n2^n-1)/2^n})-(n2^n - 1)/2^n m(E_n)+n m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+1/2^n m(E_{2/2^n})+
…+1/2^n m(E_{(n2^n-1)/2^n})-(n2^n - 1)/2^n m(E_n)+n2^n/2n m(E_n)
=1/2^n m(E_{1/2^n})+1/2^n m(E_{2/2^n})+
…+1/2^n m(E_{(n2^n-1)/2^n})+1/2^n m(E_n)
=Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n})

ボケておりました。(#^.^#)
仰るとおりになりました。どうも失礼致しました。


>>>  一方, m(E_α) は α の単調減少関数ですから, 可測であり,
>> これは∀r∈R,{x∈E;m(E_α)>r}∈Σ (但し,Σはルベーグ集合体)
>> という意味ですよね。
> 違います. ∀r ∈ R, { α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r } ∈ Σ
> (但し, Σ はルベーグ集合体), です.

「一方, m(E_α) は α の単調減少関数ですから, 可測関数であり」なのですね。
αについての関数だから
∀r ∈ R,{α∈[0,∞);m({x∈|f(x)|>α})>r}∈Σ
となるのですね。納得です。


>> どうしてルベーグ可測だと分かるのでしょうか?
>  { α ∈ [0, ∞) | m(E_α) > r } は区間ですから.
> (端が入るかどうかは場合によります.)

そうですね。区間だから0<∀ε∈R,m^*(U＼{α∈[0,∞);m(E_α)>r})<εなる開集合
(開区間)Uが採れますよね。
よって,ルベーグ可測集合の定義から{α∈[0,∞);m(E_α)>r}∈Σと分かるのです
ね。
そうしますと単調減少関数だからルベーグ可測関数という訳ではなく,
mのαについての原像が区間になってるからmはルベーグ可測関数なのですね。


>m(E_α) ≧ g_n(α) となる非負な単調増加単関数列 g_n として,
>g_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}
> を取れば,

どうしてこのようなg_nが採れるのでしょうか?
定義関数列g_nのとり方は
E_{n,i}:={x∈E;(i-1)/2^n≦f(x)<i/2^n},F_{n}:={x∈E;i/2^n≦f(x)}
としてg_n=Σ[i=1..n2^n](i-1)/2^n・1_E_{n,i}+n・1_F_{n}
でしたよね。
ここではαが変数xに相当し,m(E_α)がf(x)に相当し,Eが区間(0,∞)に相当するから,
E_{n,i}:={α∈(0,∞);(i-1)/2^n≦m(E_α)<i/2^n}=E_{(i-1)/2}-E_{i/2^n},
E_{i/2^n}:={α∈(0,∞);i/2^n≦m(E_α)}で
g_n=Σ[i=1..n2^n](i-1)/2^n・1_E_{n,i}+n・1_E_{n}
となり,ここからどうして
Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}
になるのか分からないのですが…。


>>> さて, もし
>>>   ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
>>> であれば, m(E_α) ≧ g(α) となる非負可測単関数 g で
>>>   ∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
>>>  となるものがあります.
>> これはどうしてあると分かるのでしょうか?
> ルベーグ積分の定義から ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα
>  = sup { ∫_{[0, ∞)} g(α) dα | g: 非負可測単関数, g(α) ≦ m(E_α) }
> です.

えっ!∫_Efdμ:=lim[n→∞]∫_Ef_ndμ (但し,f_nはfの定義関数列でfが非負ならfへ
の単調増加単関数列)
がルベーグ積分の定義でしたよね。
0≦fなら∫_Efdμ:=sup{∫_Ef_λdμ;f_αはf≧f_λなる非負可測単関数(λ∈Λ:添
数集合)}
(但し,f_λはfの定義関数族でfが非負ならfへの単調増加単関数族)
とルベーグ積分の定義を単関数列から単関数族へ拡張なさったのでしょうか?


>>>  互いに交わらない可測集合 A_k と
>>>  m_k > 0 について,
>>>   g = Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}
>> この時,∀α>0に対してm(E_α)=m({x∈R^d;|f(x)|>α})、
>> g(α)=Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}(α) (但し,i∈{1,2,…,k},α∈A_i)
>> =m_iとなりますよね。どうしてm(E_α)≧m_iと分かるのでしょうか?
>  g は m(E_α) ≧ g(α) となるものを取っています.
> そうなっていないといけません.

すいません。わかりました。この時のΣ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}はgのstandard representationの事だったので
すね。納得です。
「Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}がgのstandard representation
⇔(def)
(i) ∪_{k=1}^N A_k=R (A_1,A_2,…,A_Nは互いに素),
(ii) i≠jならm_i≠m_j, (iii) A_k∈M:ルベーグ集合体, (iv) m_k=∞ならm(A_k)=0」
が定義ですよね。今,gは非負なので(iv)でm_k>0なのですね。


>>>  s_k = sup A_k < ∞ です. s_k = max A_k ならば
>> すいません。supA_k<∞とはどういう意味でしょうか?
>> A_kは集合ですよね。
>  R の部分集合です. 従って, その上限が決まります.

A_k⊂Rだったのですね。


>  A_k の点 α では m(E_α) ≧ m_k > 0 ですから,
>  lim_{α→∞} m(E_α) = 0 より, sup A_k = ∞
> にはなりません.

もし,
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure.jpg
のようになってた場合はlim_{α→∞} m(E_α) = 0である事に反しますね。

所で lim_{α→∞}m(E_α)=0となる理由は
「lim[α→∞]E_α=φでしょうからlim[α→∞]m(E_α)=0となる」
という短絡的(?)な理由で宜しいでしょうか?

もしlim[α→∞]E_α≠φなら∫_{R^d} |f(x)|dx=∞でこれはfがR^dでルベーグ積分可能である事に反しますよね?

> s_k = max A_k ならば
> t_k = s_k とし, そうでないときには十分に s_k
> に近い t_k < s_k をとれば, m(E_{t_k}) ≧ m_k で,

上記の図より, m(E_{t_k})≧m_kである事は一目瞭然ですよね。


> h = ∨_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(0, t_k]}
> についても ∫_{[0, ∞)} h(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
> となります. ここで ∨ はいくつかの関数の最大値を選ぶ
> ことを示します.

すいません。hの定義(∨の定義)がいまいちわかりません。
"いつくかの関数"とはどういう意味でしょうか?


> 0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N と並べれば
>  h = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(t_{k-1}, t_k]}
>ですが,
>  ∫_{[0, ∞)} h(α) dα
>   = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) (t_k - t_{k-1})
>   = Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_k}})
>     - Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_{k+1}})
>     + t_N m(E_{t_N})

Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) (t_k - t_{k-1})
=t_1 m(E_{t_1}})+t_2 m(E_{t_2}})+…+t_{N-1} m(E_{t_{N-1}})
+t_k m(E_{t_N}})-t_0 m(E_{t_1}})
-t_1 m(E_{t_2}})-…-t_{N-1} m(E_{t_N}})
=t_1 m(E_{t_1})+t_2 m(E_{t_2})+…+t_{N-1} m(E_{t_{N-1}})
-t_1 m(E_{t_2})-t_2 m(E_{t_3})-…-t_{N-1} m(E_{t_{N}})+t_N m(E_{t_N})
(∵t_0=0)
ですね。納得です。

>   = Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}})
>     + t_N m(E_{t_N})
>   = ∫_{R^d} (Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}}
>               + t_N 1_{E_{t_N}}) dx
>となります.

今,積分範囲は(0,∞)で議論してたのに最後でR^dにどうしてすり返れるのでしょうか?


>  Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}
>  ≦ |f|
> ですから,

すいません。最後で「≦|f|」が突然現れているのが分かりません。
どうして「≦|f|」なのでしょうか?
Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}は|f|の
standard representationだからですか?