工繊大の塚本と申します.

In article <f13015ee-5718-4bae-9689-91624f902d1d@w1g2000prm.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> fをR^dでルベーグ積分可能とする。各α>0に対し,E_α={x;|f(x)|>α}とする。
> ∫_(R^d)|f(x)|dx=∫[0..∞]m(E_α)dα (但し,mはルベーグ測度)となる事示せ。
> 
> という問題に難儀しています。

以前に, |f(x)| を非負な単調増加な可測単関数列 { f_n } で近似する,
という話を投稿しました. 今回の状況にあわせて少し設定と記法を変えて
述べておきます. 1 ≦ i ≦ n 2^n の自然数 i について, 

  E_{n, i} = { x | (i - 1)/2^n < |f(x)| ≦ i/2^n } 
           = E_{(i - 1)/2^n} ＼ E_{i/2^n}

とおき, 

  f_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n 1_{E_{n, i}} + n 1_{E_n} 

とすれば f_n が求めるものです. ここで 1_A は A の特性関数です. 

  ∫_{R^d} |f(x)| dx
   = lim_{n→∞} ∫_{R^d} f_n(x) dx
   = lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{n, i}) + n m(E_n))
   = lim_{n→∞} (Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n
                                   ×(m(E_{(i-1)/2^n} - m(E_{i/2^n}))
                   + n m(E_n))
   = lim_{n→∞} (Σ_{i=0}^{n 2^n - 1} i/2^n m(E_{i/2^n})
                  - Σ_{i=1}^{n 2^n} (i - 1)/2^n m(E_{i/2^n})
                  + n m(E_n))
   = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n 2^n} 1/2^n m(E_{i/2^n})

となります.
　　　　　　　　　　　　　         
一方, m(E_α) は α の単調減少関数ですから, 可測であり,
 m(E_α) ≧ g_n(α) となる非負な単調増加単関数列 g_n として,

  g_n = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) 1_{((i - 1)/2^n, i/2^n]}

を取れば,

  ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα
  ≧ ∫_{[0, ∞)} g_n(α) dα
      = Σ_{i=1}^{n 2^n} m(E_{i/2^n}) × 1/2^n

ですから,

  ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα ≧ ∫_{R^d} |f(x)| dx

であることは分かります. さて, もし

  ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx

であれば, m(E_α) ≧ g(α) となる非負可測単関数 g で

  ∫_{[0, ∞)} g(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx

となるものがあります. 互いに交わらない可測集合 A_k と
 m_k > 0 について,

  g = Σ_{k=1}^N m_k 1_{A_k}

とします. lim_{α→∞} m(E_α) = 0 ですから,
 s_k = sup A_k < ∞ です. s_k = max A_k ならば
 t_k = s_k とし, そうでないときには十分に s_k
に近い t_k < s_k をとれば, m(E_{t_k}) ≧ m_k で,

  h = ∨_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(0, t_k]}

についても ∫_{[0, ∞)} h(α) dα > ∫_{R^d} |f(x)| dx
となります. ここで ∨ はいくつかの関数の最大値を選ぶ
ことを示します. 0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N と並べれば

  h = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) 1_{(t_{k-1}, t_k]}

ですが,

  ∫_{[0, ∞)} h(α) dα
   = Σ_{k=1}^N m(E_{t_k}) (t_k - t_{k-1})
   = Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_k}})
     - Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_{k+1}})
     + t_N m(E_{t_N})
   = Σ_{k=1}^{N-1} t_k m(E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}})
     + t_N m(E_{t_N})
   = ∫_{R^d} (Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}}
               + t_N 1_{E_{t_N}}) dx

となります.

  Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}} + t_N 1_{E_{t_N}}
  ≦ |f|

ですから,

 ∫_{R^d} (Σ_{k=1}^{N-1} t_k 1_{E_{t_k} ＼ E_{t_{k+1}}}
           + t_N 1_{E_{t_N}}) dx
  ≦ ∫_{R^d} |f(x)| dx

であり, これは矛盾です. 従って,

  ∫_{[0, ∞)} m(E_α) dα = ∫_{R^d} |f(x)| dx

でなければなりません.

> これはどのようにして示せばいいのでしょうか?

以上で如何でしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp