ご回答誠に有難うございます。

>> 勿論,φ_{p_1^{e_1}}がDirichlet指標である事は把握してます。
>> Dirichle指標の定義は
>> χ:Z→C,m∈Nでχ∈DC(m)
>> ⇔
>> (i) a≡b (mod m) ⇒ χ(a)=χ(b)
>> (ii)χ(ab)=χ(a)χ(b)
>> (iii) χ(1)=1
>> (iv) GCD{a,m}≠1ならχ(a)=0
>> ですよね。
> m と素な整数 a の mod m での同値類の全体は積について
> 群を成しています.

剰余群ですよね。

> この群は有限群です.

そうですね。

>  従って,
> (a, m) = 1 であれば, a^d ≡ 1  (mod m) となる自然数 d が
> 存在します. Dirichlet 指標というのはこの有限群の
> 複素一次元表現です.

すっすいません。複素一次元表現の定義とは何なのでしょうか?
ちょっと複素一次元表現という言葉がなかなか書籍等で見かけませんで。

> 勿論, (χ(a))^d = 1 となります.

あっ,なるほど。今,aはmodmでの類の代表元なのでa^d≡1(mod m)なるd∈Zが存在しますね。
よって,その時,(χ(a))^d=χ(a^d) (∵Dirichlet指標の定義)
=χ(1)=1(∵Dirichlet指標の定義)
と確かになりますね。

つまり,χ(a)は1のd乗根とになっているという訳ですね。

>> 今 φ_{p_1^{e_1}}(u_1)=χ(b_1)
>> (但し,χ∈DC(m)でb_1はb_1≡u_1(mod p_1^{e_1},b_1≡1(mod p_j^{e_j}) (但し,
>> 1≠j∈{1,2,…,r}))を満たす)
>> が成立っていますよね。
>> これからどうしても
>> ∃d∈N;φ_{p_1^{e_1}}(u_1)^d=1
>> が言えるのかが分かりません。
> 宜しいでしょうか.

了解です。納得できました。