ご回答誠に有難うございます。

>>>> φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~
>>>> ・φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~
>>>> ・ φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~
>>>> ・φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~
>> が1の冪根であることはどうして分かるのでしょうか?
> ひょっとして φ_{p_1^{e_1}}(u_1) 等々が
>  Dirichlet 指標であることを把握されていないのでしょうか.

勿論,φ_{p_1^{e_1}}がDirichlet指標である事は把握してます。
Dirichle指標の定義は
χ:Z→C,m∈Nでχ∈DC(m)
⇔
(i) a≡b (mod m) ⇒ χ(a)=χ(b)
(ii)χ(ab)=χ(a)χ(b)
(iii) χ(1)=1
(iv) GCD{a,m}≠1ならχ(a)=0
ですよね。

今 φ_{p_1^{e_1}}(u_1)=χ(b_1)
(但し,χ∈DC(m)でb_1はb_1≡u_1(mod p_1^{e_1},b_1≡1(mod p_j^{e_j}) (但し,
1≠j∈{1,2,…,r}))を満たす)
が成立っていますよね。

これからどうしても
∃d∈N;φ_{p_1^{e_1}}(u_1)^d=1
が言えるのかが分かりません。