度々すいません。ご回答誠にありがとうごさいます。

>>>  χ(g) は 1 の冪根で, 絶対値 1 の複素数です.
>> すいません。これを使ってどうして
>> φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~
>> ・φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~
>> ・ φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~
>> 鐚
>> ・φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~
>> が1の冪根である事が分かるのでしょうか?
>  1 の冪根

>> φ_{p_1^{e_1}}(u_1)~φ_{Π_{i=2}^r p_i^{e_i}}(t_1)~
>> ・φ_{p_2^{e_2}}(u_2)~φ_{Π_{i=3}^r p_i^{e_i}}(t_2)~
>> ・ φ_{p_3^{e_3}}(u_3)~φ_{Π_{i=4}^r p_i^{e_i}}(t_3)~
>> …
>> ・φ_{p_{r-1}^{e_{r-1}}}(u_{r-1})~φ_{Π_{i=r}^r p_i^{e_i}}(t_{r-1})~

が1の冪根であることはどうして分かるのでしょうか?

> の複素共役は, その逆数で, 又, 1 の冪根になります.

これはそうですね。
a+bi=r(cosθ+isinθ) (但し,r>0)と極形式で表すと
1=(a+bi)^n=(r(cosθ+isinθ))^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ)) (∵ドモアブルの公式)
=r^ncos(nθ)+=r^nisin(nθ)
よって
r^n(cos(nθ)=1
r^nisin(nθ)=0
と書けますね。
したがって,この連立方程式を満たすにはθ=2kπ(但し,kは整数),r=1
なので|z|=1,即ち,zz~=1が言えるからz~はzの逆数なのですね。

> 幾つかの 1 の冪根の積は, 又, 1 の冪根になります.
> # 勿論, 絶対値 1 の複素数です.

これは明らかですね。