ちょっと訂正。
# なんかヘンだと思った。

Yuzuru Hiraga wrote:
> 鴻池さんのは「２階差分の極限は２階微分」の精神に沿っているのですが：
> 
>>f(x+Δx) = f'(x)Δx+f(x)              ------(1)
>>f(x+2Δx) = f'(x+Δx)Δx+f(x+Δx)  ------(1')
>>f'(x+Δx) = f''(x)Δx+f'(x)            ------(2)
> 
> これらはいずれも有限近似だから、誤差項が伴いますよね。
> 順に e1Δx, e2Δx, e3Δx とすると、
> e1, e2, e3 はいずれも Δx→0 のとき、→0。
> そうすると：
> 
>>f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2
> 
> には実際には：
> 　f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2 + (-e1+e2+e3)Δx
> 　{f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2 = f''(x)+ (-e1+e2+e3)/Δx
> という誤差項がついて回る。

上の最後の２式は：
> 　f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2 + (-e1+e2+e3Δx)Δx
> 　{f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2 = f''(x) + (-e1+e2)/Δx + e3

の誤りでした。すみません。

> これが始末できない。いや、実際には消えるんですが、やり方がわからない。

e3 の項は平和に消えてなくなる。
(-e1+e2)/Δx は -e1+e2 のほうが Δx より急速に 0 に近づけば消えるけど、
それとラグランジュの平均値の定理を使った f(x+ah), f(x-bh) の話とは
実質的に同じこと（たぶん）。

具体的な関数、例えば f(x)=x^2, f(x)=x^3 なんかでやってみれば一目瞭然なんですが。

鴻池さん：
> ほかにも，x+Δx=Xが変でした。

これは修正可能です。

> （平賀）