ご回答大変有難うございます。



>> すいません。これがどうしても分かりませんでした。
>  P^{-1} (t I - f(A)) P = t I - P^{-1} f(A) P ですから,
>  det(t I - P^{-1} f(A) P) = det(P^{-1} (t I - f(A)) P)
>  = det(P^{-1}) det(t I - f(A)) det(P) = det(t I - f(A))
> なのです.

ああ。なるほど。参りました。簡単ですね。

> これは駄目です. det(A + B) と det(A) + det(B) とは一致しません.

そうですね。多重線形とは
det(a_1,a_2,…a_{i-1},a_i+b,a_{i+1})=
det(a_1,a_2,…a_{i-1},a_i,a_{i+1})+det(a_1,a_2,…a_{i-1},b,a_{i+1}).
のことでしたね。

>> f(P^{-1} A P))=P^-1f(A)P=Σ[i=0..n]c_iP^{-1}A^iPですよね。
>> うーんこれからどうしてD+Nになるのでしょうか?
>   f(P^{-1} A P))
>   = Σ_{i=0}^n c_i (P^{-1} A P)^i
>   = Σ_{i=0}^n c_i (D + N)^i
> ですが, 上三角行列 D + N のべき乗は上三角行列で,
> その対角成分は D のべき乗になります. つまり,
> 対角成分が 0 の上三角行列 N_i があって,
>   = Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i)

この変形は全く知りませんでした。大変参考になります。
結局,det(tI-f(A))=det(tI-Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i))という所まで行き着くのですね。


> の形になります. 結局, f(P^{-1} A P) の対角成分には
>  f(α_i) が並ぶことになります.

つまり,Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i)の対角成分にはf(α_i)が並ぶのですね。


>> よって,P_f(A)(t)=Π[i=1..r](x-f(α_i))^m_i
>> となったのですがこれでもよろしいでしょうか?
> ですから, それでは不十分です. 重複度 m_i がそうなることを
> それでは言えません.

そうしますと,Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i)の対角成分にはf(α_i)が並ぶので
tI-Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i)の対角成分にはt-f(α_i)が並ぶ事になり,
det(tI-Σ_{i=0}^n c_i (D^i + N_i))=Π[i=0..r](t-f(α_i))^m_iとなるのですね。

漸く分かりました。


吉田京子