たびたびすいません。

Let P_A be the characteristic polynomial of A,and write it as a
product
P_A(t)=Π[i=1..r](t-α_i)^m_i
where α_1,α_2,…,α_r are distinct. Let f be a polynomial.Express the
characteristic polynomial P_(f(A)) as a product of factors of degree
1.

という問題です。AはA:V→Vという線形写像です。

この問は
この線形空間をV,dimV=n∈Nとすると
P_A(t)=Π[i=1..r](t-α_i)^m_iでα_1,α_2,…,α_rが相異なる
(この時,α_iの固有空間を(v_i∈)E_iとするとdimE_i=m_iで(A-α_i)v_i=0を満たしている(i=1,2,…,r))
と表されるなら
P_f(A)(t)=Π[i=1..n](t-β_i)でβ_1,β_2,…,β_nが相異なる
と書ける事を示せと言っているのですよね。


P_A(t)を最小多項式で今,P_A(t)=Π[i=1..r](t-α_i)^m_iでα_1,α_2,…,α_rは相異なる
と書けると仮定してあるのだからP_A(t)=0とすればt=α_1(重複度m_1),α_2(重複度m_2),…,α_r(重複度m_r)
とtの値が求まるのでα_1,α_2,…,α_rはAの固有値と言える(∵固有値の定義)。
そこでP_A(A)=Π[i=1..r](A-α_iI)^m_i=O と書ける(∵ケーリハミルトンの定理)

それでP_(f(A))(t)=det(f(A)-tI) (∵固有多項式の定義)と書ける。

でこれから
Π[i=1..r](t-f(α_i))^m_iと書けるらしいのですがどうしてなのでしょうか?

あと,これからどのようにして一次式の因数に積に持っていけばいいのでしょうか?

吉田京子