すっかり遅くなってしまいまして誠に申し訳ありません。


> kyokoyoshida123 <kyokoyoshida...@gmail.com> writes:
>> 結局のところ, P_A(t)=Π[i=1..r](t-α_i)^m_i (ただし,m_1+m_2+…+m_r=dimV)と書ける時,
>> f(t)を任意の多項式とすると P_f(A)(t)=Π[i=1..r](t-f(α_i))^m_iはどのよ
>> うにして導け出せますでしょうか? どこをどう変形すればいいのか分かりません。
> 行列 A はある正則行列 P を用いて「殆ど対角な」行列
> と同値であることが分かります. つまり,
>  P^{-1} A P = D + N
> とすることができて, D は対角行列で, その対角成分は
>  α_1, α_1, ..., α_1, α_2, α_2, ..., α_2, ..., α_r, α_r, ..., α_r
> となっています, ここで各 α_i は m_i 個並んでいます.
> N は対角成分が 0 の上三角行列です.

D+NはJordan形ですね。本で見つけました。
「A∈M(n;C)に対し,ある正則行列PがあってP^-1AP=B,BはJordan形となる」
という定理も見つけました。
Jordan形とJordan標準形の違いは無いようですね。


> この問題の前にはそういった「標準形」の存在が示されて
> いる筈だと思います.
> 問題を解くには
>  det(t I - f(A))
>  = det(t I - P^{-1} f(A) P)

すいません。これがどうしても分かりませんでした。
ここでのPはP^{-1} A PがJordan標準形にするための行列ですよね。

det(tI-f(A))=det(tI-Σ[i=0..n]c_iA^i)
=tdetI-Σ[i=0..n]c_idetA^i (∵detの多重線形性)
=t-Σ[i=0..n]c_idetA^i (∵正規化条件)
=t-Σ[i=0..n]c_i(detA)^i (∵命題det(AB)=detAdetB)

一方,f(x)=Σ[i=0..n]c_ix^i　とすると
det(t I - P^{-1} f(A) P)=det(t I - P^{-1}(Σ[i=0..n]c_idetA^i)P)
=det(t I) - det(P^{-1}(Σ[i=0..n]c_iA^i)P) (∵detの多重線形性)
=t - det(P^{-1}(Σ[i=0..n]c_iA^i)P) (∵正規化条件)
=t - det(Σ[i=0..n]c_iP^{-1}A^iP)
=t - Σ[i=0..n]c_idet(P^{-1})(detA)^idetP (∵命題det(AB)=detAdetB)


となってどうしても
t-Σ[i=0..n]c_i(detA)^i =t - Σ[i=0..n]c_idet(P^{-1})(detA)^idetPに持っていけない
のですが…。


>  = det(t I - f( P^{-1} A P))

これはわかります。
(P^-1AP)^n=P^-1A^nPが成り立つので
f(P^-1AP)=P^-1f(A)Pとなりますね。


> が成立することを示して, f( P^{-1} A P)) が
> どんな形であるか(やはり D + N のように書けます),

f(P^{-1} A P))=P^-1f(A)P=Σ[i=0..n]c_iP^{-1}A^iPですよね。
うーんこれからどうしてD+Nになるのでしょうか?


> そのとき det(t I - f(P^{-1} A P)) はどうなるか,
> を計算することになります.

取り合えず
f（x）＝Σ[i=0..n]c_ix^iの時,Aの固有値をα_i,v_iをα_iの固有ベクトルとすると
ｆ(A)ｖ_i＝Σ[i=0..n](c_ix^iv_i)=c_0v_i+c_1xv_i+c_2x^2v_i+…+c_nx^nv_i
=c_0v_i+c_1α_iv_i+c_2α_i^2v_i+…+c_nα_i^nv_i
=f(α_i)v_i

したがって,α_iはf(A)の固有値でもある。
よって,P_f(A)(t)=Π[i=1..r](x-f(α_i))^m_i
となったのですがこれでもよろしいでしょうか?