ご回答大変有難うございます。

>> category(通常はsmall category)の定義ではなく公理ですか。
> この文脈では定義も公理も変わりありません.
> ZFC の公理は, ZFC 集合論において集合とは何かを定義しています.
> 群の公理は, 群論で言うところの群とは何かを定義しています.
> category の公理は, category 論で言うところの category とは
> 何かを定義しています.

ZFC公理系では,集合とは何かは言っているのではなくどのようなものであれば都合がいいのかを述べているだけではないでしょうか?
例えば,外延性の公理「2つの集合が等しいというのと,夫々の集合に含まれる元が全て等しいというのは同じ意味である」は
ちっとも集合とは何かを説明していないと思うのですが。。。

群Gの公理というのは
(i) 2項演算について閉じている
(ii) Gの任意の元は(i)の演算について結合法則が成り立つ。
(iii) 単位元が存在する。
(iv) 逆元が存在する。
の事ですよね。これは定義なのではないのでしょうか?
公理なら恒真命題で無ければなりませんよね。(i),(ii),(iii),(iv)は真偽は言えないので定義だと思うのですが。。

>> すいません。ちょっと分かりにくいです。
>> categoryとmetacategoryの公理とは何なのでしょうか?
：
> となります.

有難うございます。納得です。

>>> category であれば, category としての公理を 満足しているものが, category
>>> という数学的体系です.
：
> という話なのですが, 読めませんか.

ああ、わかりました。

>> 領域とは言わないのですね。
> 言っても余り有効ではないでしょうから.

有効でないとはどういう事でしょうか?
どのように言えばいいのでしょうか?

>> "弁別可能である"とはどういう意味でしょうか?
> 考える対象としてきちんと決まる, と言う程度の意味です.

ありがとうございます。

>> 真偽がはっきりしているという意味でしょうか。
> そのように限定はしていません.

え〜? 真偽すら限定されていないとは。。
では"きちんと決まる"とは何が決まるのでしょうか?

>> だとしたら弁別可能な数学的対象とは命題の事ですよね。
> だから違います. 記号として α と a とは違う,
> というように分かれば, なんでも結構です.

ここでの"記号として"違うとは視覚的に違うという意味でしょうか?

>>> A の公理系を満たしているなら, それを A という数学的体系だと 言うわけです.
>> えーと,ここは例えば,命題がZFC公理系を満たしているならば, その命題はZFCという数学的体系であるというのですね。
> 何か考えているものが, ZFC 公理系を満たしているならば,
> その考えているものは「集合」というものであり,
> 我々は「集合論」という数学的体系を扱っていることに
> なります.

「…我々は「集合論」というmetagraphを扱っていることになります.」
という事はできないのでしょうか?

metacategoryはmetagraphの一種ですよね?
そしてmetagraphは数学的体系の一種ですよね。

>> つまり,矛盾・無矛盾に拘らず公理系を持つ
>> 命題は数学的体系と呼ばれるのですね。
> 先に言ったように「命題」と言うわけではないですが,
> 公理系で対象が限定されていれば,
> それは数学的体系です.

うーん,難しいですね。
公理系は恒真命題が集まったものですから,数学的体系にはやはり真偽があるのではないでしょうか?

>> ZFC公理系は直感では捉えにくい公理系だが,
>> ラッセルのパラドクスなどなどの矛盾を
>> 克服した公理系で無矛盾なのですね。
> 「無矛盾」というのを軽々しく言うわけには行きませんが,
> それは良いでしょう.

無矛盾であるとう意味は奥深いのですね。

>> 数学的体系だがmetagraphでない例や
> 例えば, 点から出る一本の矢印がいくつかに分岐して
> いくつかのものに辿り着くような図は
> metagraph ではありません.

数学的体系は何らかの公理系を持っているのですよね。
ここでの数学的体系は任意の公理系なのですね。

ところですいません。"図"とは何なのでしょうか?
"図"がmetagraphであるとか"図"がmetagraphではないとかはどういう意味なのでしょうか?

数学的体系Ob(C)がmetagraphであるとは
「arrowと呼ばれる数学的体系fがあって,
domf:=a, codf:=b (但し,a,b∈Ob(c))と定義される記号dom,codがある」
ですよね。

>> metagraphだがmetacategoryでない例は
> 恒等射がなくても metagraph ですが,
> metacategory にはなりません.

具体的にmetagraphだがmetacategoryではない例ってどのようなものがありますでしょうか?

>> どのようなものがありますでしょうか?
> そういうのを考えてみるのが勉強です.

metagraphやmetacategoryは一般に集合の世界とは限らない"領域"の世界ですよね。
領域という数学的体系の公理を知らないのですので領域全体でmetacategoryでなくmetagraphになる例をちょっと思いつきません。

>> つまり,metacategory(通常はcategory)は arrow
>> という"要素"(?)というmetacategory(通常はcategory)の 直積の
>> 一部(つまり,部分集合に相当するもの)を要するのですね。
> 「直積」というのは意味不明です.

仰るとおりでした。

> (meta)category を考えるときには,
> その (meta)category での arrow とは何か,

(meta)categoryでは射は写像とは限らないのですね。

> その (meta)category での object とは何か,
> が定まっているわけです.

ありがとうこざいます。分かってきました。objectがsetの場合もあるというだけで色々なobjectが考えられるのですね。

>  それが定まっている
> ということが, 他の事柄と合わせて, 一つの
> (meta)category を構成しているわけです.

"他の事柄"とは結合性や単位元律という公理系ですね。

>> metacategory(通常はcategory)はarrowを持つというのは
>> metacategory(通常はcategory)の定義になるのでしょうか?
> 形式的な言葉で言えば, (meta)category を考えるときは,
> 「 f は arrow である」という術語を考えて,
> それが真になるものがその (meta)category での arrow です.

「fはarrowである」が真とはfはdomf=a,codf=bなる,a,b∈Ob(A)があるという事ですね。
そして
「fはarrowである」が偽とはdomf=aやcodf=bなるaやbが無いという事ですね。

>> ここでの"要素"の定義とは何なのでしょうか?
> 普通の日本語での用法です.

つまり,"元"という意味ではなく"条件"という意味なのですね。

>> 後, metacategory(通常はcategory)Ob(A)とOb(B)の直積
>>Ob(A)×Ob(B)は どのように定義されるのでしょうか?
> ん? 二つの (meta)categories の直積の話ですか?
> そんなもの定義されなくても category を理解するのに
> 影響は無いでしょう.

そうですね。

>> んん? 写像は集合にて定義される概念ですよね。
>> そして集合を定義する際にZFCを必要としますよね。
> 有限集合だけ扱うなら, ZFC なんて要りません.

有限集合のみの場合は無限集合の公理のみ不要で,残りの8つの公理は必要ですよね。

>> 射のdomainとcodmainは全く異なるmetagraph
>> の対象でも定義されると思っていました。
> それは text をちゃんと読んでいないからですね.

すいません。
domainとcodmainはmetagraphから定義されるのでしたね。

>> 射の定義はOb(A)をmetagraph、a,bをOb(A)の対象とすると,対(a,b)が射なのですね。
> 何度違うと言ったら分かっていただけるのでしょうか.
> まず, metagraph も object と arrow が定まっているものです.

うーん,このarrowは(a,b) (但し,a,b∈Ob(A))というものではないのですね。
どうして対(a,b)で考えてはダメなのかいまいち分かりません。

> arrow f に対しては, dom(f) という object と,
> cod(f) という object が定まりますが,
> 同じ objects a, b を a = dom(f) = dom(g), b = cod(f) = cod(g)
> とする arrows f, g で異なるものは一般にいくつもあります.

それは例えばarrowを写像としてa={1,2,3},b={4,5,6}とする時,
1─4
2─5
3─6
をf
1─6
2─5
3─4
をg
とすると,a = dom(f) = dom(g), b = cod(f) = cod(g)ですがf≠gという例が挙げられるのですね。

> ですから, 対 (a, b) と arrow とを同一視できるのは
> 極特別な場合だけです.

そうですか。分かりました。

metagraphとは数学的体系の一種で,射と呼ばれる何だか得体の知れない何かと演算dom,codがあって
domf=a,codf=b (但し,a,bはobjects)となる。それ以外にdomf=aとcodf=bには意味は無い。
という訳ですね。

>> そうですね。objectsが無いと範疇は存在しようがありませんからね。
>> objectsがあって範疇があって,命題(弁別可能な数学的対象)
>> があって公理系があって, 数学的体系ができて
>> ,metagraph,metacategory,categoryの順に出来上がるのですよね。
> だから「命題」ではありません.

でも真偽を決定する"命題"が無ければ公理(恒真命題)も存在しえませんよね。
するとZFC公理系なども無意味なものになってしまうのではないでしょうか?

一番最初は何から始まるのでしょうか?

> 弁別可能な数学的対象である objects と arrows が
> 定まっていなければ

objectsもarrowsも無定義語なので定まらないのですよね。
それとも無定義語でも定まるとはobjectsとarrowsの公理系を満たすという事ですね。

>  category は考えられませんし,
> その objects と arrows とが category の公理を
> 満足していて, 初めてそれを category という数学的体系である,
> と宣言できるのです.

categoryの公理はZFC公理系だけで
(1) metacategoryである事
(2). (f, g) ∈ A ×_O A について
      dom(f○g) = dom(g), cod(f○g) = cod(f).
(3). (f, g), (g, h) ∈ A ×_O A について
      (f○g)○h = f○(g○h).
(4). a ∈ O について dom(id(a)) = a, cod(id(a)) = a.
(5). f ∈ A について f○id(dom(f)) = f, id(cod(f))○f = f.」
は公理ではなく定義だと思うのですが。。。

> category の公理の中で, obejects や arrows が sets である
> という部分を除いたものが metacategory の公理であり,

ありがとうございます。分かりました。

> 又, 恒等射や射の合成を忘れたものが metagraph ですから,

これはそのように述べてありますね。

> その順に出来上がるというのは間違いではないです.

了解いたしました。

領域,数学的体系,metagraph,metacategory,categoryの順ですね。

領域だが数学的体系でない例や
数学的体系だがmetagraphでない例や
metagraphだがmetacategoryではない例や
metacategoryだがcategoryではない例は何が挙げられるのでしょうか?

>> そのような意味を言いたかったのです。
> 違うでしょう.

すいません。

>> でもtext
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/category/category_p7.jpg
>> ではA = dom(f), B = codom(f) ではなくa=dom(f), b=codom(f)となっていますが。。
> 貴方が A, B を使ったからそれに合わせただけです.
> この text での習慣としては object を表すのに
> 使う文字は小文字でしょうが, どうでも良いことです.

そうだったのですか。分かりました。

> で, その a = dom(f) とか b = cod(f) とかは
> cateogry では「集合」であり, 多くの場合,
> arrow f: a → b は, a の各元 A ∈ a に対して,
> B = f(A) ∈ b を定めることによって決まっていたりする
> わけです.

これは分かります。

> 勿論, category での arrow というのは
> そういう a から b への写像の「抽象化」ですから,
> category によっては, f がそういう a から b への
> 写像ではないこともあります.

んん?これは興味深いですね。categoryはsets全体に対して定義される概念ですが
色々なarrowsが定義されうるという訳ですね。
代表的な例は
「 (0). (f, g) ∈ A ×_O A について
      dom(f○g) = dom(g), cod(f○g) = cod(f).
 (1). (f, g), (g, h) ∈ A ×_O A について
      (f○g)○h = f○(g○h).
 (2). a ∈ O について dom(id(a)) = a, cod(id(a)) = a.
 (3). f ∈ A について f○id(dom(f)) = f, id(cod(f))○f = f.」」
という風に,写像と合成写像と左恒等写像と右恒等写像で定義されるarrorwsですが
categoryではこれ以外にもarrowsが考えられるのですよね。
ちょっと思いつかないのですがどのようなものがありますでしょうか?

>> つまり,対象は元でmetagraph A,Bが集合に相当すのですね。
> 違います. object は category では set です.
> set の element というのは category では
> 表面には現れてきません.

ん? 元も集合のうちですよね。元は単に集合同士の包含関係を表しているに過ぎませんよね?
Cがcategroryの時,Cはobjests全体(つまり,sets全体)なのですね。
その時,aがobjectならa∈Cと書けるのではないでしょうか?

>> そうですね。集合Aから集合Bへの集合というと沢山ありますね。
> category の objects a, b が, a = set A であり,
> b = set B であり, dom(f) = a, cod(f) = b となる
> arrow f が map f: A → B である場合, を

これは分かります。

> 一度頭の中においてから, それを忘れて下さい.

ちょっとこの辺は難しいですね。。。

>> でもtextでは射fやgについて個別にdomainとcodomainが存在するようですね。
> そりゃあ, dom(f), cod(f), dom(g), cod(g) は決まりますが,
> categoray C = (O, A) においては, それらは全て O の元
> です.

domとcodは同じmetagraphの対象という訳ですね。

>> CをmetagraphsとするとA={domf;fは}
> 何でしょうか?

A×_O A:={(f,g)∈(O×O)×(O×O);domf=codg}と書きたくなります。

>> そうしますと,写像の抽象化である"射"はどのように定義されるのでしょうか?
> 「 category の公理を満たすもの」が categogry での
> arrow です.

categoryはsets全体ですが,categoryにて写像以外での射の例はどのようなものがありますでしょうか?

>> ここでの"要素"とは弁別可能な数学的対象(即ち,命題)なのですね。
> だから「命題」ではありません.

命題すらでもないのなら"要素"や"数学的対象"とは何なのでしょうか?

>> "同列に扱う"とはどういう意味でしょうか?
> 「category,object,metagraph,metacategory,arrowらは
> 無矛盾な公理系が与えられてうるような集まり」のように
> 「 object, arrow 」と「 metagraph, metacategory, category 」
> を並べて扱ってはいけません.

うーん,これはつまり,前者は数学的対象(つまり,領域)。後者は数学的体系(つまり公理系を持つ領域)
という区分けで宜しいでしょうか?

>> "モデル"とは"例"と解釈して宜しいのでしょうか?
> 結構でしょう.

有難うございます。

>> そうですか。metagraph,metacategory,
>> categoryは常に無矛盾という事でしょうか?
> その公理系には矛盾はありません.

了解いたしました。

>> 例えば,objectsは集合とし,arrowsは写像と決めて
> arrow は「写像」とは決めません.

そうでしたね。categoryはsets全体から成りますが写像はarrowの一例に過ぎないわけで
arrowだから写像とは言えなのですね。

> (arrows も「集合」になることは要求されています.)

これは分かります。categoryはsets全体からなりますからset以外には何もありませんね。
よって必然的にarrowsも集合でなければなりませんね。

>> (この時点でZFC公理系が存在している),
> 集合の公理系として, 例えば ZFC 公理系が採用されている
> として結構です.

ありがとうございます。

>> category(通常はsmall category)の公理
>> 「集合の集合Oはmetagraphで写像の集合Aがあり,
> 違います, 集合 O と集合 A からなる metagrph (O, A) があって,
> です.

なるほど。(O,A)と記述すると分かり易いですね。AによってmetagraphOが決まるという意味ですね。
別の射A'に対してOがmetagraphを成すなら(O,A')と表せますね。

>> domとcodというAからOへの写像が存在し, 写像の合成可能対な集合がある」
> これだけでは足りません. 最初にあげた公理を参照して
> 下さい.

「 (0). (f, g) ∈ A ×_O A について
      dom(f○g) = dom(g), cod(f○g) = cod(f).
 (1). (f, g), (g, h) ∈ A ×_O A について
      (f○g)○h = f○(g○h).
 (2). a ∈ O について dom(id(a)) = a, cod(id(a)) = a.
 (3). f ∈ A について f○id(dom(f)) = f, id(cod(f))○f = f.」
ですね。
勿論,(small) categoryにも色々な射が考えられるのですね。

>> を満たす時,Oを集合でのcategoryと呼ぶ事にするのですね。
> 正確には, C = (O, A) を category と呼ぶ, です.

これもなるほどです。Aによって決まるのですね。

>> つまり,弁別可能な数学的対象(命題)があって,objectsがあって,
> だから「命題」ではありません.

やはり,そうなのですか。。

>> 何かの公理系(例えば,ZFC公理系)があって,
> ZFC で集合と言うものが定まっているというのは
> 勿論前提ですが, category には category の公理があります.

ここも飽くまでcategoryの定義ではなく公理なのですね。

>> arrowsがあって,数学的体系になってcategory(通常はsmall category)の
>> 公理を満たして,晴れてcategory(通常はsmall category)になる。のですね。
> 順番が出鱈目なので, ちゃんと理解は出来ていないのでしょうね.

領域,数学的体系,metagraph,metacategory,categoryの順ですよね。

>>> 集合全体(sets)を objects とし,
>> 集合全体は数学的体系で(∵ZFC公理系を持つ弁別可能な数学的対象(命題)なので)
>> その個々がobjectなのですね。
>>> 任意の集合から任意の集合への 写像の全体を arrows とすると, sets は
>>> metacategory に なります.
>> setsはZFC公理系を持つ数学的体系でしたね。
>> その数学的体系がarrowsを持つという公理を満たすと,
> sets における arrows を「 set から set への任意の
> map は arrow である」として定めると,

はい。

>> setsはmetagraphになり, metacategory(通常はcategory)の公理を満たすから
>> setsはmetacategory(通常はmetacategory)になって,
> そう, (sets, maps) は metacateogry になりますが,

ありがとうございます。納得です。

>> 更にはcategory(通常はsmall category)の公理を満たすので,
>>  setsはcategory(通常はsmall category)になるのですね。
> sets は set にならないので,

領域になるのですよね。

> category (或いは small category)
> にはなりません.

え?  metacategory (sets,maps)が
「 (0). (f, g) ∈ A ×_O A について
：
 (3). f ∈ A について f○id(dom(f)) = f, id(cod(f))○f = f.」
を満たしても(sets,maps)はcategoryにならないのですか?

「射や対象において,等号「=」や合成写像
：
 であるとは限りません.」
の意味が分かりました。

>> "集合として同じであるというわけではないかも"はどういう事でしょうか?
> object a, b が「集合」として等しくても,
> a, b に他の構造が付随していて, その構造が
> 違えば違うものと考える, のは普通の状況です.

群で言えば(G,・)と(G,*)という異なる2項演算子・,*がある場合は(G,・)≠(G,*)ですね。
射AによるcategoryCと射A'によるcategoryCとでは(C,A)≠(C,A')ですね。
でもa,bはa,bはcategoryの元(objects)なのですよね。categoryではobjectにも構造が与えられるのでしょうか?

>>> 「○」も, ある条件を満足する arrow の組に対して
>> "組"とは直積のobjectの事と解釈して宜しいでしょうか?
>> でもmetagraphに於いての直積の定義は無いのですよね。
> 違います. arrows f, g が dom(f) = cod(g) を満足するとき,
> 組 (f, g) ∈ A ×_O A として, そのような組 (f, g) に対して,
> ○(f, g) = f○g ∈ A が定まるのです. その意味で,
> 写像 ○: A ×_O A → A を, A ×_O A での二項演算と呼びました.

 ありがとうございます。これは分かり易いです。

>>> arrow を対応させる, arrows のある部分における 二項演算であると
>> いうだけです. まあ, そういうものを 普通「合成写像」と呼ぶわけですが.
>> そうですね。組というものが定義されていれば納得できます。
> 分からないまま納得しないほうが良いですよ.

つまり,categoryの公理に於いて○という2項演算の元になるものを"組"と呼んでいるわけですね。

>> objectとは弁別可能な数学的対象(命題)ですから,
>> 少なくとも真偽は決まっているのですよね。
> 「 a = b 」の真偽が定まる対象であるとします.

つまり,弁別可能とは同じが異なっているか判別可能という意味だったのですね。
a=aは公理ですよね。この公理には何か名前は付いているのでしょうか?

>> 「a = b」とは何かと言われると困るのですが直感での"同じもの"という自然な(?)
>> 解釈による概念なのですね。
> 「 a = b 」なる関係は, 同値関係の公理
>  (0) a = a.
>  (1) a = b ⇒ b = a.
>  (2) a = b, b = c ⇒ a = c.
> を満足する関係であるというだけです.

ふーむ。これは公理と呼ばざる得ませんね。確かに。
因みに,ZFC公理系を定める段階になるまでに幾つくらいの公理が必要とされているのでしょうか?

>>> f: a → b と書いて, 写像の如くに理解しても, 取り敢えずは 構いませんが,
>>> f は a×b の部分集合と同一視できるわけでは ありません.
>> え〜!? そうだったのですが。。
>>> 「写像とは a×b の部分集合で特定の性質を 満足するものである」といった
>> 具体的な構成から離れて, 写像の持つ, domain と codomain が決まっていて,
>> domain と
>>> codomain が一致する写像は合成できる, といった性質を取り上げて, 抽象化したものが category における arrow です.

ああ,分かりました。

>> domainとcodmainは具体的な性質は考えないで,
>> f:=(a,b)のaをdom(f),bをcod(f)とするのでしたよね。
> だから f は objects の組 (a, b) と同一視できるわけでは
> ありません.

そうでしたね。　すいません。

>> そしてdom(g)=cod(f)の時はfとgは合成できるという訳ですから,
>> 全てのarrow は全射な写像のように解釈するのですね。
> 全射でなくても, f: a → b, g: b → c であれば,
> g○f: a → c は定義できるでしょう. だから,
> 全射という性質は取り入れられていません.

ああ,なるほど。仰るとおりです。

>> これはつまり,f:=(a,b)
> だから, objects の組 (a, b) と arrow f とは
> 同一視できません.

すいません。気をつけます。

>>  (aは数学的体系Aのobject,bは数学的体系Bのobject)
> 考えているのは一つの category C = (O, A) において
> ですから, a も b も O から取っています.
> a も b も C の object です.

そうでした。特にこの公理に名前なんぞありませんね。

>> なる組が存在するという意味ですね。
>> この公理には名前は付いているのでしょうか?
> dom: A → O と cod: A → O の存在は category の
> 公理の一部ですが, 特に名前は付いていません.

了解いたしました。

>> Mor(a,b)はmetacategoryで用いられる記号ですよね。
> text には出てこなかったのではないですか.

そうでしたね。
textではcategoryに於いてhom(b,c):={f;domf=b,codf=c}が使われていますね。

>> そうしますとMor(a,b)は何を意味する記号なのでしょうか?
> 多くの場合, text での hom(a, b) の別の記号です.

了解いたしました。

>> でも集合でない場合の「∈」はなんぞやと
>> 聞かれたら答えようがありませんよね。
> そういう述語「∈ A 」とか「∈ O 」とかがあって,
> それについて真偽が定まるのであれば, 問題ありません.

つまり,fはarrowであるをf∈A,aをobjectであるをa∈Oと定義する訳ですね。
fをarrowとするとf∈Aは真ですがf∈Oは偽ですね。

>> objects全体(範疇)Ob(A)の個々のobject  aをa∈Ob(A)と表記する。 でいいのでしょうか?
> category C の objects の全体を Ob(C) として,
> 「 a は category C の object である」と書く代わりに
> 「 a ∈ Ob(C) 」と書くわけです.

「∈Ob( )」という記号はそのように使われるのですね。
つまり,(C,A)をcategoryとすると
a∈Cと書くと,aは集合Cに含まれるという事を意味しますがa∈Ob(C)と書くと,
aはAを射とするcategory Cのobjectという意味になるのですね。

> この text では category C = (O, A) について,
> Ob(C) とか O とかの表記は止めて, C にすることに
> なっています. C = Ob(C) = O ですね.

ありがとうございます。了解いたしました。

>> 弁別可能な数学的対象(命題)をobjectと言い,
>> その集まりを範疇と言い,Ob(A)と表す。
> だから「命題」ではありません.
> object も arrow も予め定まっていて,
> category とは, その object と arrow について,
> の話です.

そうでしたね。了解いたしました。

>> 範疇Ob(A)に無矛盾な公理系が加わったものが数学的体系で,
>> Ob(A)をある数学的体系とすると,下記の公理を持つ数学的体系を
>>metagraphと言う。 「a,b∈Ob(A)に於いて,f:=(a,b)という対をarrowと呼ぷ」
> だから, 違います.

これもそうでした。metagraphに於いて一般にf:=(a,b)とは書けないのでしたね。

>> 「arrow fに対してdomf=a,codf=bとする」
> だから, arrow f に対して, dom(f), cod(f) という object が
> 定まる, です,

これもそうでしたね。

>> これら2つ公理(恒真命題)なのですよね。
> metagraph の場合は dom(f), cod(f) が定まることだけが
> 公理です.

これもそうですね。

>> どうして真と分かるのでしょうか?
> それが「真」となっているものだけを metagraph と呼ぶからです.

偽となる場合もあるのならやはり
「∀f∈Ob(A)に対して,domf=a,codf=b (但し,a,b∈Ob(C))なる2つの演算子dom,codが在る」
はmetagraphの公理ではなく定義の様な気がするのですが。。

>> 直感ででも真であるかどうかは分からないのですが。。。
>> っていうかそもそも命題になっているのでしょうか?
> あるものが metagraph かどうかは, 上の公理を使って,
> 確かめられるでしょう.

これはそうですね。予めmetagraphの公理を満たす2つの演算子が
与えられいればmetagraphになるのかどうか判定できますね。

>> そして,metagraph Ob(A)の「各object aに対し,恒等射(a,a)と言うものが存在する」,
> metagrph A の objects を Ob(A) とするのはまあ良いとしても,
> 恒等射というのを (a, a) で表しては駄目です.

これもそうでしたね。対とは限らないのでしたね。

>> 「domg=codfなる2つの射f,gに対し,domh=domf,codh=codgなる合成射hが存在する」
>>
>>  という2公理を満たす時,Ob(A)はmetacategory(通常ではcategory)と呼ばれる。
>> ここでも2公理も命題になっているのでしょうか?
> まあ貴方の公理の理解は相当いい加減ですが,

え〜? すると公理とは何なのでしょうか?

>  それはさておき,
> 全ての objects と arrows について, それが成立しているかどうか,
> には意味があるでしょう.

「∀a∈Ob(C)に対し,domf=codf=aなる射fが存在する」
と
「domg=codfなる∀f,g∈Ob(A)に対して,domh=domf∧codh=codgなるh∈Bが存在する」
ですね。

>> そしてmetacategory Ob(A)がZFCを持つならば,O上の積も存在し,
> 「 ZFC を持つ」というのは奇妙な文章ですし,

metacategoryはsets全体ですからZFC公理系を持ちますよね?

> 「 O 上の積」というのは意味不明です.

すいません。metacategory(C,A)はZFC公理系を持つsets全体ですから,
射f,g∈Ob(A)も集合で,その対(g,f)も集合で更には
{(g,f);g,f∈Ob(A),domg=codf}も必ず集合になりますよね。

>> 合成に関しての結合法則も成り立ち,右単位元と左単位元も存在するので
>> (∵Ob(A)は集合全体なので写像も定義でき,写像の性質より)
> Ob(A) は集合全体ではありませんし,

Ob(A)は集合全体ではなく,Ob(A)は集合でしたね。

> arrow は
> 写像の「抽象化」なので, 写像の性質が直接使える
> わけではありません.

これはそうでしたね。失礼いたしました。

>> metacategoryがZFCを持てば自動的に
>> category(通常はsmall category) となるのですね。
> objects や arrows が集合で, dom, cod や id が写像としての
> 意味を持つものであれば, そうです.

ああ,分かりました。metacategory(C,A)のAが写像とは限らないので,そのAがcategoryの公理を満たすとは限りませんね。

>> よってcategory(通常のsmall categoryの定義は「ZFC公理系を持つmetacategory」
>>
>>  だけでいいのではないでしょうか?
> 多分誤解があるのでしょう.

そうでした。上述のようにmetacategoryでの射が写像とは限りませんので自動的にmetacategoryだからcategoryとは言えま
せんね。

>> それとあと,数学的体系が出来上がる過程で
>> 範疇Ob(A)に無矛盾な公理系が加わって数学的体系
>> をなす。 この時の無矛盾な公理とは何なのでしょうか?
> category の公理については既に述べました.

はい。そうでした。

>> categoryはZFC公理系を持つmetacategoryですよね。
> 多分誤解があるのでしょうが, それはさておき.

categoryは
「 (0). (f, g) ∈ A ×_O A について
      dom(f○g) = dom(g), cod(f○g) = cod(f).
 (1). (f, g), (g, h) ∈ A ×_O A について
      (f○g)○h = f○(g○h).
 (2). a ∈ O について dom(id(a)) = a, cod(id(a)) = a.
 (3). f ∈ A について f○id(dom(f)) = f, id(cod(f))○f = f.」
という4公理を持つmetacategoryなのですね。

>> という事はcategoryは集合全体なのですね。
> 全然違います.

categoryとは上記の4公理を兼ね備えたmetacategoryなのですね。

>> という事はここの○は合成写像の記号そのものなのですね。
> arrows は maps であるとは限りません.

これもそうでした。metacategoryでの射が写像とするとは断っていない限りはarrowsはmapsにはなり得ませんね。

>> ここも ○はcategoryで使われる記号なのですよね。categoryは集合全体なので,
> だから category は集合全体ではありません.

ここも上記の4公理を兼ね備えたmetacategoryなのですね。

> # (sets maps) のなす metacategory だけが
> # metacategory ではありません.

これもそうです。すいません。

>> ○は合成写像の記号そのものでは?? どうして抽象化なのでしょうか?
> arrows も集合から集合への写像全体とは限りません.

そうでした。

>> つまり,対f:=(a,b)
> そんな変なことを書いているのは貴方だけです.

これも失礼いたしました。

>> とf∈Mor(a,b)とは全く同じ意味の記号なのですか?
>> Mor(a,b)はmetacategoryで初めて使える記号なのですよね。
> そういうものが集合になると思わなければ, 別に構いませんが.

Mor(b,c)はhom(b,c)とも書かれ,metagraphにてdomf=b,codf=cなるarrows全体という意味でも使えるのです
ね。

>> ZFC公理系を持っていないmetacategory,metagraph,
>> 数学的体系,範疇においては使用できないのですよね。
>> でもmetacategoryはZFC公理系を持つmetagraphなのですよね。
> どこかで category と metacategory が混線していますね.

すいません。ZFC公理系と恒等射と合成射を持つ,metagraphがmetacategoryでした。

>> という事はmetacategoryは集合全体を意味しますから写像が定義できて,
>> Mor(a,b)が集合a(metacategoryでは対象は集合を意味する)から集合bへの
> category では object は集合ですが, 集合としてのみ
> 考えているわけではありません.

これも勘違いでした。Mor(a,b)はmetagraphではdomf=a,codf=bなるarrows全体を意味するものでした。
でもmetacategoryではMor(a,b)は集合ですよね(∵metacategoryは全て集合からできているので)。

>> 写像(metacategoryでは射は写像を意味する)全体の集合を表すと
> category でも arrow は object から objects への写像である
> とは限りません.

これも勘違いでした。飽くまでarrowの例として写像が挙げられるというだけでしたね。


>> category(通常でのcategory)ではmetacategoryでの記号Mor(a,b)は
>> 単にhom(a,b)と表されるだけなのでしょうか?
> text では Mor(a, b) は使っていないでしょう.

そうですね。metagraphでもhom(a,b)はdomf=a,codf=bなるarrows全体を意味するものするのなら使用できるのです
ね。

>>> ともあれ, 「恒等射」に相当するものがある, というが 公理の一つです.
>> つまり,(a,a)というような対が作れるという公理ですね。
> 違います. arrow は objects の対ではありません.

これもそうでした。恒等射はdomf=codf=a∈Ob(C) (但し,CはAをarrowとするmetagraph)なるf∈Ob(A)でした
ね。

>> これは直感で真と感じますね。
> 貴方の直感はこの際関係ありません.
> 「真」になっているものが category であるというだけのことです.

ありがとうございます。了解いたしました。

>> 有難うございます。arrowは∀a,b∈Ob(A)に対して定義され得るのですね。
> そんなことはありません.

という事は(C,A)をmetagraphとする時,∀f∈Ob(A)に対して,domf=xともcodf=xともならないx∈Ob(C)が存在する場
合もmetagraphによっては有り得るという訳ですね。

>> そして任意のarrow f:=(a,b)に対して,dom,codは定義されているのですね。
> 任意の arrow f について object dom(f), cod(f) は
> 定まりますが, 任意の objects a, b について,
> dom(f) = a, cod(f) = b となる arrow f が存在する
> わけではありません. ちゃんと text に書いてありますから,
> きちんと読んで下さい.

ああ、有難うございます。納得です。

>> textではmetacategoryでなく,categoryが結合性と
>> 単位元律を要するように 記されているようですが。
> 同じ内容が metacategory についても要請されていますよ.
> objects や arrows が集合で, dom, cod, id が写像であるとき,
> それを書き直しただけです.

えーと,
(C,A)をAを射とするmetagraphとすると,
「(i) CはZFC公理系を持つ。
(ii) ∀a∈Ob(C)に対し,Ob(A)∋∃f such that domf=codf=a.
(iii) C∋∀a→η(a)はdomη(a)=codη(a)なる写像η:C→Aが存在する。
(iv) domg=codfなる∀f,g∈Ob(A)に対し,∃h∈Ob(A) such that
domh=domf,codh=codg.
(v) 写像ψ:B→C (但し,B:={(f,g);domf=codg})で下記を満たすものが存在する。
[i] ∀(f,g)∈Bに対しdom(ψ(f,g))=domg, cod(ψ(f,g))=codf,
[ii] (結合律) ∀(f,g),(g,h)∈Bに対しψ(ψ(f,g),h)=ψ(f,ψ(g,h)).
[iii] ∀f∈Aに対し,ψ(f,η(domf))=f, ψ(η(codf),f)=f」
がmetacategoryの定義になりましょうか?

うーん,でもこれだとmetacategoryとcategoryの違いは何なのでしょうか?

>> そうですか。結合性公理と単位元律公理は不要なのですね。
> どうして「不要」になるのですか. 貴方の思考は理解不能です.

すいません。ここでも射を写像の事と思い込んでおりました。

>> 「ZFCを持った」と言い表せばいいでしょうか? どのような言い回しが妥当でしょうか?
> ZFC の公理系で定めるところの集合になっている,
> ということですが, 一々「 ZFC の公理系で定めるところの」
> といわなくても「集合になっている」で十分でしょう.

了解いたしました。有難うございます。

>> そうするとmetacategoryは集合全体なのですね
> 違います. (sets, maps) = (集合全体, 集合から集合への写像全体)
> は一つの metacategory ですが, metacategory になるものは
> 色々あります.

metacategoryは(metagraph,arrows)で
categoryが(sets,arrows)となるのですね。
(sets,maps)は飽くまでmetacategoryやcategoryの一例にすぎないのですね。

>> (そしてcategoryも集合全体(∵categoryはmetacategoryの特別な場合なので))。
> 「特別な場合なので集合全体」という思考はどこから来るのでしょう.

すいません。勘違いしてました。
metagraph(C,A)に於いて,(C,A)がcategoryの時,Cはsets全体になるのですね。
(C,A)がmetacategoryの時はCはsets全体とは限らないのでしたね。

>> metacategoryにはZFCが保障されているのなら
> 一体 ZFC が何を保証していると言うのです?

すいません。ここも間違えてしまいました。
categoryがZFC公理系を持つのでしたね。
metacategoryにZFC公理系は無関係でしたね。

>> 恒等射や合成射や結合律や単位元律は
>> 自動的に成り立つのではないでしょうか?
>> これら4つは公理ではなく定理なのでは?
> 例えば, 特別な metacategory (sets, maps) が
> 確かに metacategory になることは sets, maps の
> 性質から確かめられることで, 「 (sets, maps) が
> metacategory である」というのは一つの定理です.

分かりました。もし,metagraphでの対象や射が,setやmapではない場合は,metacategoryの公理が成り立つとは限らないのでし
たね。

> だからといって, ある obejects と arrows が (meta)category
> になる為には満足すべき公理に挙げられていることが
> 自動的に成り立つわけではありません.

そうでした。納得です。

> 「自動的に成り立つ」と考えているのは, 変なことを
> 貴方が勝手に仮定しているのです.

すいません。metacategoryの対象はsetだと勝手に仮定しておりました。

> objects や arrows がどんなものであるか, については
> 公理を満足するということ以外, 何も仮定されないところから
> 出発するのです.

ありがとうございます。漸く見えてきました。

>> ここで見る限りMor(a,b)は集合のようですね(∵和集合の記号が使われている事から)。
> 今, C = (O, A) が category の場合ですから,
> M(a, b) = { f ∈ A | dom(f) = a, cod(f) = b }
> は集合 A の部分集合です.

そうでした。納得です。

>> 「Mor(a, b) というのはその構成要素である arrow の集まりというだけです.」
>> というお話から Mor(a,b)はやはり,domがaでcodがbなる
>> 写像 (今,metacategoryでの話なので射ではなく写像)
> metacategory でも category でも, 写像ではなく arrow (射)
> の集まりです.

そうでした。肝に銘じておきます。

>> の集合と見て取れるのですが。。 勘違いしてますでしょうか?
> 何度でも言いますが, arrow (射) は, 写像ではなく,
> それを「抽象化」した概念です.

これもさようです。

>> これはf:=(a,b)∈A, a,b∈Oに対して,dom:f→a, cod:f→b
>>  という事を意味して書いたのでした。
> だから f:= (a, b) と arrow と objects の組 (a, b) とは
> 同一視できません.

これもさようです。

>>> id(x) ∈ Mor(x, x) です.
>> ここでのid(x) ∈ Mor(x, x)は id(x)は(x,x)という
>> 対であるという意味なのですよね。
> 違います. dom(id(x)) = x, cod(id(x)) = x である,
> というだけです.

これもさようです。

>>> id(x) は dom(f) = x となる arrow f について, f○id(x) = f, cod(g) = x
>>> となる arrow g について id(x)○g = g, という公理から, その性質が定められます.
>> 恒等射はmetacategory,つまり集合全体に於いての概念ですよね。
> 本当に, 「例」とその例が示すところの「概念」との
> 区別が出来ていないのですね.

すいません。今漸く理解できました。

>> なので上記のようなid(x)は写像の定義から
>> 存在するので 公理では定理なのではないでしょうか?
> だから, 成り立つからそれは「例」になっているのですが,
> その「例」しか考える対象が無いわけではありません.

これもさようです。

>> そうですね。id(x)∈M(a,b) (但し,a=b)なのですね。
> x と a, b が分かれていては変でしょう.

これもそうでした。x=a=bでなければなりませんね。

>> えっ? A=Mor(a,b)とは書けないという事でしょうか? どうしてでしょうか?
> やはり, 貴方は, Mor(a, b) が何か, 全然理解できていない
> ということでしょうね.

すいません。
category(C,A)に於いて,A⊂Mor(a,b) (textではA⊂hom(a,b))ですね。
一般にA=Mor(a,b)にはなりませんね。

>> 分かりました。id_cとかがarrow(恒等射はcategory)ですね。 id  :  O → A c
>> |→ id(c):=id_c でしたね。
> 「恒等射は category 」というのは意味不明です.

すいません。本当にこれは意味不明でした。
id_cの主張は「metacategory(C,A)に於いては∀a∈Cに対して,domf=codf=aなる射fが存在する」
でしたね。

>> えっ? (g,f)∈A×_O A:={(g,f);g,f∈A且つdomg=codf}に対して, g○fをdom(f○g)
>>  = dom(g),cod(f○g) = cod(f)という2項演算だと 定義してあるだけではないでしょうか?
> そうなっていることを要請しています.

metacategoryの公理がそのように要請しているのですね。

>> やはり公理なのでしょうか?
> 当然です.

そうですか。。やはり定義と言ってはならないのですね。

>> すいません。a⊂bでないならid(dom(f))が定義されませんね。
>> f:=(a,b)∈Aならf○id(dom(f))=f○id(a)=f○(a.a)
>>  (∵id(a)の定義) =(a,b)○(a,a) (∵fの定義) =(dom(a,a),cod(a,b)) (∵○の定義)
>>  =(a,b)=f と示せますね。
> この辺りは arrow と objects の対との誤った混同による
> 議論ですから, 全く無意味です.

これもmetacategoryでarrowは写像の事だと思い込んでおりました。

>> id(cod(f))○f =id(b)○f=(b,b)○f (∵id(b)の定義) =(b,b)○(a,b) (∵fの定義)
>>  =(dom(a,b),cod(b,b)) (∵○の定義) =(a,b)=f と示せますね。
> この辺りも全く無意味です.

すいません。

>> それでもこれらは公理なのでしょうか?
> そうです.

了解いたしました。

>> そうですね。集合の世界では全てが集合で,a∈Oと書いたら
>> aは集合Oに含まれる集合というだけの事ですよね。
> どうもそれを理解されていないようですが.

えっ? 集合での「∈」を勘違いしてますでしょうか?

>> 了解いたしました。その場合,Mor(a,b)やhom(a,b)は集合の世界での
>> 話しで 集合aから集合bへの写像の集合を表すのですね。
> 違います, dom(f) = a, cod(f) = b となる arrow f の
> 全体です. arrow と写像とは違います.

これも繰り返し間違えてしまいました。

>> えーと,つまり,CがcategoryでcがCのobjectなら
>> cもCも一応は集合なのですよね。
> そうです.

了解いたしました。これは納得です。

>> つまり,hom(a,b)やMor(a,b)はmetacategory
>> 以降の概念で使用される記号なのですね。
>>  metacategory以前の概念,metagraph,数学的体系,
>> 範疇では用いられない記号 なのですね。
> 使って悪いと言うことはありませんが, 誤解しない
> ように text では避けているようです.

textから判断するとhom(a,b)はmetagraph以降から用れるようですね。
すいません。誤解しないように避けているとはどういった誤解でしょうか?

>> えっ,ZFC公理系と恒等射,合成射を持つmetagraphがmetacategoryなのですから
>> metacategoryのobjectは集合になるのですよね。
> 「恒等射」「合成射」といっても「集合における恒等写像」
> 「集合間の写像における合成写像」であるとは限りません.
> だから object が集合だということも別に仮定はされていません.

これも繰り返し間違いでした。 categoryからが集合の世界で,metacategryは(objects,arrows)であって,
objectやarrowは集合や写像とは限らないのでした。

>> すいません。違いとはどういう事でしょうか?
> ま, 全く metacategory と category が同じに扱えるわけでは
> ありません.

仰る通りでございます。

>> Aが○について半群をなすのですね。
> 半群というのは通常もう少し強いことを要求しますので,
> 「半群のようなもの」とはいえますが, 普通はそれを
> 「半群」とは呼びません.

categoryに於いては半群と呼んでもいいのですよね。
metacategoryに於いては○については半群をなしているようですが,半群は少なくとも集合に於いての概念なのですね。
従って,metacategoryに於いては「半群」という言葉は使用できないのですね。

>> 「∀a∈Oに対して,(a,a)なる対が存在する」ですね。
> だーかーらー, 違います.

これもすいません。

>> え?  どういうことでしょうか? hom(a,b)はmetacategory
>> (つまり,集合全体)での射(つまり写像)の集合ですよね。
> metacategory はいつでも集合全体ではありませんし,
> hom(a, b) が a から b への写像全体でないといけないわけでも
> ありません.

これもそうです。categoryに於いてですらarrowは写像とは限らないのでしたね。

>> xからxへの写像の集合h(x,x)があって,
>> id(x)∈hom(x,x)という事ですよね。 これは納得です。
> h(x, x) は x から x への「写像」の集合ではなくて,
> arrow (射) の集合です.

そうです。これも失礼いたしました。

>> え〜? 何らかの同値類の全体とはどういうもの
>> でしょうか? それがhomの本当の定義なのですね。
> category には色々なものがあります. 夫々の場合に
> hom(a, b) が何であるかは, 夫々違います.

そうですね。categoryにてどのような射を採用するかでhom(a,b)の意味は変わってきますよね。
ただそれが"同値類の全体"の意味がよく分かりませんが,同値類とは
「 (0) a = a.
  (1) a = b ⇒ b = a.
  (2) a = b, b = c ⇒ a = c.」
ですよね。これとhom(a,b)がどのように関係しているのでしょうか?

>> Oは弁別可能な数学的対象(命題)の集まり(範疇)で
>> そのOにmetagraphの公理系(arrowなど)が加わって
>> metacategory,そしてcategoryが出来上がるのですよね。
> 違うことがお分かりいただけましたでしょうか.

漸く分かりました。纏めると

弁別可能な数学的対象の集まりを"領域"と呼び,
何らかの無矛盾な公理系が与えられた領域を"数学的体系"と呼ぶ。

数学的体系CがAを射としてmetagraphをなすの定義は
「∀f∈Ob(A)に対して,domf=a,codf=b(但し,a,b∈Ob(C))なる演算dom,codがある。
この時のmetagraphを(C,A)と記す」

metagraph(C,A)がmetacategoryをなすの定義は
「(i) ∀a∈Ob(C)に対して,∃f∈Ob(A);domf=codf=a,
(ii) domg=codfなる∀f,g∈Ob(A)に対して,domh=domf∧codh=codgなるh∈Ob(A)が存在する,
この時,hをghと表す。
(iii) domf=a,codf=domg=b,codg=domh=c,codh=d(但し,a,b,c,d∈Ob(C))なる
∀f,g,h∈Ob(A)に対して,h(gf)=(hg)fが成立つ
(iv) domg=codfなる∀f∈Ob(A)に対して,∃h∈Ob(A);hf=f∧gh=g」

metacategory(C,A)がcategoryをなすの定義は「Cはsets全体」

でいいのですね。