メタ圏,メタグラフ,対象,射,圏の定義は?
いつも大変お世話になっております。
プリント配布からの質問です。
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いまいち分かりません。
集合論の公理(外延性の公理,空集合の公理,対の公理,合併の公理,無限集合の公理,冪集合の公理,置換公理,正則性の公理,選択公理)
を使わずに何の公理を使うのでしょうか?
メタ圏とメタグラフって何なのでしょうか?
対象や射は無定義語と聞いたのですが,無定義語の定義は「定義を持たないものらしいもの」らしいのですが
定義を持たない語が定義とはどういう意味なのでしょうか?
以下は何とか自力で解釈に努めました。
対象は何かのものの集まりだと解釈しました。
集合は集合全体の集合とかは矛盾をはらむので集合を厳密に定義する事は不可能なのですよね。
集合全体の集合とか,位相全体の集合とか群全体の集合とかは何の本で"領域"と呼ぶと以前見かけた事があります。
よってここでの対象の集まりは領域の事かとも解釈いたしました。
そして,対象が集合に相当する概念?
よって対象の集まりを領域と言い,Ob(P)と表す(ここでのPは何かの条件を表す)
Ob(P)と表記したら,Pと言う条件を満たす対象ならなる領域。
そしてOb(P)={a,b,c,…}とかOb(P)={a;P(x)}で表す事ができる。
対象aが領域Ob(P)の一部の時,a∈Ob(P)と表記する。
これは集合論での元が集合に含まれるという概念に相当するのとかと思います。
Ob(P)=Ob(P)は∀x∈Ob(P)に対し,x∈Ob(P)そして,∀x∈Ob(P)に対し,x∈Ob(P)になっている事と定義できるのだと思
います。
2つの領域Ob(P)とOb(Q)が在ったとすると,a∈Ob(P),b∈Ob(Q)に対し,
対領域,a×bを射(morphism)と呼び,aとbの射の集まり(つまり,そのような射の領域)をMor(a,b)と表す。これは集合論では対応に
相当する概念だと思います。
f∈Mor(a,b)とすると,domf=aのdomainと言う,つまり集合論での対応の始集合に相当する概念だと思います。codf=bの
codomainといい,集合論での対応の終集合に相当する概念だと思います。
a∈Ob(P),b∈Ob(Q),c∈Ob(R)の時,f∈Mor(a,b),g∈Mor(b,c),h∈Mor(a,c)とする。
domh=aでcodh=cの時,fg=hと表し,合成射と呼ぶ。
∀f∈Mor(a,b)に対し,fg=f 且つ,gf=fなるg∈Mor(a,a)が一意的に存在する。
このgを恒等射と呼ぶ。
そして,対象a,b,cと射の領域Mor(A,B),Mor(B,C),Mor(A,C),Mor(A,A),Mor(B,C)を圏と呼ぶ。
と以上のように解釈してみたのですが…
かなり勘違いしてますでしょうか?
吉田京子
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
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