ご回答大変ありがとうございます。


>> つまり,M={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m(F)=0},
>> M_1={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_1} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_1(F)=0},
>> M_2={E∪Z;E,F∈σ({Π_{i=1}^{d_2} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}),Z⊂F,m_2(F)=0} となっているのですね。
> そうです.
>> ここでM,M_1,M_2はμとμ_1とμ_2とで定義されているので μとμ_1とμ_2の定義域は
>>それぞれσ({Π_{i=1}^d (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}), σ({Π_{i=1}^{d_1}
>> (a_i,b_i];a_i,b_i∈R}), σ({Π_{i=1}^{d_2} (a_i,b_i];a_i,b_i∈R})なのですね。
> 勿論, その完備化上でも定義されています.

ルベーグ集合体の目玉ですね。しっかり覚えておきます。


>> > K_2 ∈ T_2 を任意に固定すると, 任意の K_1 ∈ T_1 について K_1×K_2 は T
>> > の元ですから, 任意の E_1 ∈ σ(T_1) について, E_1×K_2 は σ(T) の元になります.
>> これは難しいですね。何故でしょうか?
> E_1×K_2 が σ(T) の元になるような E_1 の全体は,
> T_1 を含む σ 集合体になるからです. 当然 T_1 を
> 含む最小の σ 集合体 σ(T_1) はそれに含まれます.

つまり,T_1⊂{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}⊂σ(T_1)で{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}がσ集合体
なら
生成されるσ集合体の最小性から{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}=σ(T_1)と成るわけですね。
よってE_1 ∈ σ(T_1)ならE_1×K_2∈σ(T).
 T_1⊂{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}は明らかなので{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}がσ集合をなす事を
チェックしてみました。
E_1∈{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}を採ると,E_1^c∈{E_1∈σ(T_1);E_1×K_2∈σ(T)}である為に
は
E_1^cはE_1^c×K_2∈σ(T)とならねばなりませんが,
すいません。E_1^c×K_2∈σ(T)はどうすれば言えますでしょうか?


>>> 次に E_1 を固定すると, 任意の K_2 ∈ T_2 について E_1×K_2 が σ(T) の元ですから,
>>> 任意の E_2 ∈ σ(T_2) について E_1×E_2 が σ(T) の元に なります.
> ここでも同じ議論を使うわけです.

ああ、納得です。


>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem13.jpg での完備化測度の定義
>>「μ~がμの完備化測度 ⇔(def) ∀E,F∈Mに対しμ~(E∪Z)=μ(E) (但し
：
> 従って, m(G) = m(E) = (m_1×m_2)(E) = (m_1×m_2)(G) です.

ありがとうございます。納得できました。