工繊大の塚本と申します.

In article <c46a825e-4b9c-41ac-b838-1054f3d812ca@j35g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> プリント配布からの問題です。
> 
> [Q] Let m_j be the Lebesgue measure for the space R^{d_j} ,j=1,2.
> Consider the product R^d=R^{d_1}×R^{d_2} (d=d_1+d_2),with m the
> Lebesgue measure on R^d. Show that m is the completion (in the sense
> of Exercise 2) of the product measure m_1×m_2.
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem13.jpg
> 
> 問13についての質問です。
> 
> M_1,M_2をそれぞれR^{d_1},R^{d_2}のルベーグ集合体とすると
> (R^{d_1}×R^{d_2},σ(M_1×M_2)~,m_1×m_2)が
> 完備化された積測度空間になるのですよね
> (但し,σ(M_1×M_2)~は積σ集合体σ(M_1×M_2)を完備化したもの)。
> この時,∀F∈σ(M_1×M_2)~,Z⊂F,(m_1×m_2)(F)=0⇒Z∈σ(M_1×M_2)~を満たす
> (∵完備の定義)。
> そこで∀E∈σ(M_1×M_2)~に対し,
> (m_1×m_2)~(E)=m(E) (但し,(m_1×m_2)~(E∪Z):=(m_1×m_2)(E))と成る事を
> 示せばいいのですよね。

違います. 先ず, M を R^d のルベーグ集合体とするとき,
 M = σ(M_1×M_2)~ になることを示し, その上で,
 E ∈ M に対し, m(E) = (m_1×m_2)(E) となることを
示すわけです. 後半よりも前半が重要です.
(区間の積の上で両者が一致することから, M の上で
一致することは殆んど明らかです.)

その意味では以下は見ても仕方がないですが,

> [証]
> ∀E∈σ(M_1×M_2)~を採ると,
> ∃E^{x_2}∈M_1,E^{x_1}∈M_2;E=E^{x_2}×E^{x_1}と言える
> (∵積σ集合体の定義).

何度も言っていると思いますが, そうはいえません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp