たびたびすいません。

プリント配布からの問題です。

[Q] Let m_j be the Lebesgue measure for the space R^{d_j} ,j=1,2.
Consider the product R^d=R^{d_1}×R^{d_2} (d=d_1+d_2),with m the
Lebesgue measure on R^d. Show that m is the completion (in the sense
of Exercise 2) of the product measure m_1×m_2.
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/problem13.jpg

問13についての質問です。

M_1,M_2をそれぞれR^{d_1},R^{d_2}のルベーグ集合体とすると
(R^{d_1}×R^{d_2},σ(M_1×M_2)~,m_1×m_2)が完備化された積測度空間になるのですよね
(但し,σ(M_1×M_2)~は積σ集合体σ(M_1×M_2)を完備化したもの)。
この時,∀F∈σ(M_1×M_2)~,Z⊂F,(m_1×m_2)(F)=0⇒Z∈σ(M_1×M_2)~を満たす(∵完備の定義)。
そこで∀E∈σ(M_1×M_2)~に対し,
(m_1×m_2)~(E)=m(E) (但し,(m_1×m_2)~(E∪Z):=(m_1×m_2)(E))と成る事を示せばいいのですよね。

[証]
∀E∈σ(M_1×M_2)~を採ると,∃E^{x_2}∈M_1,E^{x_1}∈M_2;E=E^{x_2}×E^{x_1}と言える(∵積σ集合
体の定義).
よって
(m_1×m_2)~(E)=(m_1×m_2)~(E∪φ)=(m_1×m_2)(E) (∵完備積測度の定義)
=(m_1×m_2)(E^{x_2}×E^{x_1})
=m_1(E^{x_2})m_2(E^{x_1})(∵積測度の定義)
=m_*_1(E^{x_2})m_*_2(E^{x_1}) (但し,m_*_jはR_{d_j}でのルベーグ外測度 j=1,2) (∵ルベーグ測
度の定義)
=inf{Σ[i=1..∞]I_i;E^{x_2}⊂U_{i=1}^∞I_i}inf{Σ[i=1..∞]J_i;E^{x_1}⊂U_{i=1}
^∞J_i } (但し,I_iはd_1次元区間,J_iはd_2次元区間)
(∵ルベーグ外測度の定義)

一方,m(E)=m(E^{x_2}×E^{x_1})=m_*(E^{x_2}×E^{x_1}) (∵ルベーグ測度の定義)
=inf{Σ[i=1..∞]K_i;E^{x_2}×E^{x_1}⊂U_{i=1}^∞K_i}(但し,K_iはd次元区間) (∵ルベーグ外測度
の定義)

というところまで来たのですがこれから(m_1×m_2)~(E)とm(E)とを結べません。

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/rectangle.jpg

のようにI_1,I_2,… と J_1,J_2,…,の積がK_1,K_2の面積になるというイメージは湧くのですがどのように書けばいいのか分かり
ません。
どのようにすればいいのでしょうか?

吉田京子