工繊大の塚本です.

In article <9ef791fc-36e1-44b7-b772-ad7f50712018@i24g2000prf.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。"集合F∩B_k~が閉ならばいつでも任意のFは閉集合"が
> どうしてもわかりません。
> F=∪[k=1..∞]F∩B_k~と書ける事は分かるのですが,
> F∩B_k~は閉集合ならその可算和集合もどうして閉集合と言えるのでしょうか?

閉集合であるというのは局所ごとに check 出来る性質で
あるからです. B_k~ = { x ∈ X | d(x, x_0) ≦ k } は
 X を取り尽くす閉集合の増大列(次のものは前のものを
内部に含む)であることに注意します.


> 命題「{a;aはFの集積点}⊂F⇔Fは閉集合」を使うのだと思うのですが…
> {a;aはFの集積点}⊂Fがどうしても示せません。

 a が F の集積点であれば, 十分大きな k について,
 a ∈ B_k~ ⊂ B_{k+1} ⊂ B_{k+1}~ となります.
 a の任意の ε近傍の中に a 以外の F の点がある
わけですが, 0 < ε < 1 とすれば, その点は
 F ∩ B_{k+1}~ の点でもあります. このことは
 a が F ∩ B_{k+1}~ の集積点でもあることを意味し
ます. F ∩ B_{k+1}~ は閉集合ですから, a ∈ F ∩ B_{k+1}~,
つまり, a ∈ F となります.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp