度々スイマセン。いつも大変お世話になっております。m(＿ ＿)m
プリントに載ってました命題
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop_first.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/prop_second.jpg
で質問です。訳は下記のようになろうかと思います。
何度となく読み返しては見たりしたのですが結局,どのようなステップで証明してるのかが分かりません。
要約するとどのような手順で証明されているのでしょうか?

つまり,任意のBorel集合Eと任意のεに対して具体的にμ(O＼E)<ε,μ(E＼F)<εでF⊂E⊂Oなる,開集合Oと閉集合Fの採取法をどのよ
うに述べてあるのでしょうか?

Borel測度の定義は「測度μがBorel集合体上で定義された測度」のことです。
下記でB_n~はB_nの閉包を表しています。

『我々は予備知識が必要である。F^*(∪[k=1..∞]F_k),但しF_kは閉集合。その時,0<∀εに対して,μ(F^*＼F)<εなる閉集合
F⊂F^*を見つける事ができる。これを証明する為に{F_k}を増加列とする。x_0∈Xを固定してB_n:={x;d(x,x_0)<n}(但
し,B_0=φ)とすると∪[n=1..∞]B_n=Xなので

F^*=∪F^*∩(B_n~-B_{n-1})となる。

今,各nに対して,F^*∩(B_n~-B_{n-1)は増加閉集合列F_k∩(B_n~-B_{n-1})のk→∞の時の極限である。そこで
(B_n~が有限である事を思い起こすと)(F^*-F_N(n))∩(B_n~-B_{n-1})がe/2^n未満の測度を持つようなN=N(n)を
採る事ができる。もし,

F=∪[n=1..∞](F_N(n)∩(B_n~-B_{n-1}))

とすると,それはF^*＼Fの測度がΣ[n=1..∞]ε/2^n=εとなる。F∩B_k~は閉集合の有限和なので我々はF∩B_k~が閉集合であるこ
とも分かる。従ってF自身は閉.何故なら容易に分かるように全てのkに対して集合F∩B_k~が閉ならばいつでも任意のFは閉集合である。
 この知識を経て本命題の結論を満たす族をCとしよう。その時,EがCに属すならば自動的にE^cもCに属す。

今,E=∪[k=1..∞]E_k (E_k∈C)と仮定するとμ(O_k＼E_k)<ε/2^kでO_k⊃E_kなる開集合O_kが存在する。しかし
ながらもし,O=∪[n=1..∞]O_kならO＼E⊂∪[k=1..∞](O_k＼E_k)でしかもμ(O＼E)≦Σ[k=1..∞]ε/2^k=ε
である。

次にμ(E_k＼F_k)<ε/2^kでF_k⊂E_kなる閉集合が存在する。従ってもし,F^*=∪[k=1..∞]F_kなら我々は以前のようにμ
(E＼F^*)<εであることが分かる。しかしながらF^*は閉とは限らないのでμ(F^*＼F)<εでF⊂F^*なる閉集合を見つけるために我々は予
備知識を使う事になる。従って,μ(E＼F)<2ε。εは任意なのでこれは∪[k=1..∞]E_kがCに属する事を示している。

ついに任意の開集合がCの中に入っている事に気づく。開集合によって含まれていることに関する性質は直ぐ出てくる。,μ(O＼E)<εであるような閉集
合F⊂Oを見つけるためにF_k:={x∈B_k~;d(x,O^c)≧1/k}.その時,F_kが閉集合である事とO=∪[k=1..∞]F_kであ
る事は明らかである。我々はその時,必要とされるFを求める為に再度,予備知識をただ適用することだけを要する。したがって我々はCが開集合したがって
Borel集合を含むσ集合体である事を示した。従って,命題は示された』


吉田京子