工繊大の塚本です.

In article <e5e26d15-7d22-43a9-b15c-4f0b1ca839d3@p25g2000hsf.googlegroups.com>
cchikakoo <cchikakoo@yahoo.co.jp> writes:
> Jは可算集合として考えておりましたが、、
> 通常,直積位相はたかだか可算個からなる直積集合で考えてるのでは?
> 非可算個からなる直積集合の直積位相の概念ってあるのでしょうか?

勿論, 任意濃度の添え字集合についての直積空間の直積位相を
考えることができます. 何も問題はありません.

> In article <081001181209.M0108456@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  s_i = f_{β_i}^{-1}(U_{β_i}), U_{β_i} ∈ T_{β_i}
> > であるとしたとき, f(∩_{i=1}^n s_i) とは
> >  f(x) = (f_α(x))_{α∈J}
> > がどんな条件を満たすものの集まりであるか, をお考え下さい.
> 
> うーん,すいません。一日中考えましたが分かりませんでした。
> 一番簡単な2個の共通部分で証明を試みました。

2個で出来れば, 後は同じことですが,

> f(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))=f(A)∩t_p
> というt_p∈T_pがある事を示せばいいんですよね。
> 多分,f(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))
> =f(A)∩(proj_(β_1)^-1(U_{β_1})∩proj_(β_2)^-1(U_{β_2}))
> という等式が成り立つ予想します。

そうです.

> ∀x∈左辺を採ると
> x=f_1(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×f_2(f_{β_1}^{-1}
> (U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…
> …f_(β_1)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…×…
> …f_(β_2)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…×…
> と書け、

そこが問題で,

  f(s) = { f(x) ; x ∈ s } = { (f_α(x))_{α∈J} ; x ∈ s }

と

  Π_{α∈J} f_α(s) = Π_{α∈J} { f_α(x) ; x ∈ s }

とは違うものです.

  f(∩_{i=1}^n s_i) = { f(x) ; x ∈ ∩_{i=1}^n s_i }

について考えると,

  x ∈ s_i ⇔ x ∈ f_{β_i}^{-1}(U_{β_i})
           ⇔ f_{β_i}(x) ∈ U_{β_i}

ですから,

  f(∩_{i=1}^n s_i)
  = { f(x) ; ∧_{i=1}^n [ f_{β_i}(x) ∈ U_{β_i} ] }
  = { f(x) ; ∧_{i=1}^n [ proj_{β_i}(f(x)) ∈ U_{β_i} ] }
  = { f(x) ; ∧_{i=1}^n [ f(x) ∈ proj_{β_i}^{-1}(U_{β_i}) ] }
  = { f(x) ; f(x) ∈ ∩_{i=1}^n proj_{β_i}^{-1}(U_{β_i}) }
  = f(A) ∩ (∩_{i=1}^n proj_{β_i}^{-1}(U_{β_i}))

となり, T_z の元であることが分かります.

# ∧_{i=1}^n [ P(i) ] で, [ P(1) かつ P(2) かつ … かつ P(n) ]
# という命題を表しました.

御理解いただけますでしょうか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp