大変ありがとうございます。


> (a) の証明で, T_A は位置づけが明確ではありません.
> 「全ての f_α が連続であるような位相 T_A があったとしよう」
> と始める方が分かりやすいと思います.

そのように書き改めたいと思います。


> 逆向きの証明のところで,
>  ∪_{b∈B'} b = ∪_{β∈J} ∩_{s∈S'_β} s
> との変形をされていますが, これは如何でしょうか.
> β が J を動くのはおかしい.

そうでした。 ∩_{s∈S'_β} s の任意個の和集合ですから
∪_{β∈J} ∩_{s∈S'_β} sと書くと常に∩_{s∈S'_β} sの可算個限定(有限個不可)になってしまいますよね。
∪_{b∈B'} b = ∪_{β∈J'} ∩_{s∈S'_β} s (但しJ'⊂J)


> これは分けて書いた方が分かりやすい.

そのようです。


> g^{-1}(b) = g^{-1}(∩_{i=1}^n s_i)
>             = ∩_{i=1}^n g^{-1}(s_i)

逆像の場合はg^{-1}(∩_{i=1}^n s_i)⊂∩_{i=1}^n g^{-1}(s_i)は等号成立ですね。



> ような t_p の存在を示さなければなりません.

これもそうでした。


> 直積位相の生成元の表示で A が書かれていますが
> そこは X_α ですね.

仰るとおりです。すいません。


> f(b) = f(∩_{i=1}^n s_i) ∈ T_z であることを
> 示すことになります.

f(∩_{i=1}^n s_i)⊂∩_{i=1}^nf(s_i)という風に必ずしも等号は成立していないので,
∩_{i=1}^nf(s_i)∈T_pだからといってf(∩_{i=1}^n s_i)∈T_pとは言えないのですね。
だからf(∩_{i=1}^n s_i)∈T_zを示せざる得ないという訳ですね。
さて,
T_pの元はひと項だけが小さい開集合になってるような直積集合の有限個共通部分の任意個和集合で
X_1×X_2…×X_(i1-1)×proj_i1^-1(U_i1)×X_(i1+1)×
…×X_(i2-1)×proj_i2^-1(U_i2)×X_(i+1)×
…X_(i3-1)×proj_i3^-1(U_i3)×X_(i3+1)×…
……
:

と言う風な形をしてますよね。上記のs_iはTの元だから,∩_{i=1}^n s_i∈T(∵位相の定義)
そこでs:=(∩_{i=1}^n s_iと置くと,f(s)∈T_pが言えればよい。
fの定義よりf(s)=f_1(s)×f_2(s)×…という形になってますよね。そこでf_1に絞って考えれば
f_1(s)=X_1かf_1(s)∈T_1(結局はf_1(s)∈T_1なのですが)になってればいいんですよね。
Tの元は少なくともT_1の逆像の寄せ集めから成り立ってますよね。
だからs∈f_1^-1(T_1)ならf_1(s)∈T_1となる(∵写像の定義)。
s∈f_1^-1(T_1)でない,つまりs∈f_i^-1(T_i) (i∈{2,3,…})ならf_1(s)はT_1の元になりえない(ただの
X_1の部分集合)。
この場合は
ひと項だけが小さい開集合になってるような直積集合の有限個共通部分の任意個和集合
という風にはならずT_pの元にならないのですがどのように解決できますでしょうか?


Chikako