Chikakoと申します。識者の皆様よろしくお願い致します。下記の問題について質問です。


Let A be a set;let {X_α}_α∈J be an indexed family of spaces;and let
{f_α}_α∈J be an indexed family of functions f_α:A→X_α.
(1) Show there is a unique coarsest topology T on A relative to which
each of the fuctions f_α is continuous.
(2) Let S_β:={f_β^-1(U_β); U_β is open in X_β},and let S=∪S_β. Show
that S is a subbasis for T.
(3) Show that a map g:Y→A is continuous relative to T if and only if
each composite map f_α。g is continuous.
(4) Let f:A→ΠX_α be defined by the equation f(a)=(f_α(a))_α∈J ;let Z
denote the subapace f(A) of the product space ΠX_α.Show that the image
under f of each element of T is an open set of Z.

「Aを集合とし,{X_α}_α∈Jを添数付けられた(位相?)空間の族とし,{f_α}_α∈Jを添数付けられた写像f_α:A→X_αの族とせ
よ。
(1) 各f_αが連続となる事に関連したA上の最弱位相Tが一意的に存在する事を示せ。
(2) S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはX_βでの開集合},そしてS=∪S_β…(*)とする時,SはTの準開基となる事を示せ。
(3) 写像g:Y→AがTに関して連続⇔各合成写像f_α。gは連続。
(4) f:A→ΠX_αをf(a)=(f_α(a))_α∈J; Zは直積空間ΠX_αのf(A)の部分空間を表す。Tの各元のfの像はZの開集合に
なる事を示せ。」


(1)については
各f_αが連続だというのだから∀t_α∈T_α(但しT_αはX_αの位相),f_α^-1(t_α)はAの開集合(…という事はAは何らかの位相を
持っている?その位相をTとしておく)。f_α^-1(T_α)⊂Tになっていなければならない(∵連続の定義)。
よってT=∪[α∈J]{f_α^-1(t_α)∈2^A;t_α∈T_α}…(ア)と採ればよい。
何故なら,もしT'⊂Tとなる真部分集合になっているTより弱く全f_αを連続にさせる位相T'があったとすると
∃α_0∈J;f_α_0^-1(t_α_0)∈T＼T'でこの場合,f_α_0はT'においてはf_α_0(t_α_0)で不連続になってしまい,矛
盾。
よってTが題意を満たす最弱の位相。最小の定義から一意性も保障される。 (終)


(2)については今,S=∪[β∈J]S_β={s∈2^A;∃β∈J such that s∈S_β}…(**)となっていて,
∪[s∈S]s=Tとなる事を示せばよい(∵準開基の定義)。
∪[s∈S]s⊂Tを示す。
∀s∈Sを採ると(*)より,∃β∈J;s=f_β^-1(U_β).よってこれは(1)でのTの元になっているのでs∈T.
∪[s∈S]s⊃Tを示す。
∀t∈Tを採ると∃β∈J;t=f_β^-1(t_β) (但し,t_β∈T_β)(∵(ア))
よってS_βの定義(S_β:={f_β^-1(U_β);U_βはX_βでの開集合})からf_β^-1(t_β)∈S_β.
よって(*)よりf_β^-1(t_β)∈∪[s∈S]s(∵(**)). 以上より T=∪[s∈S]s.


(3)については
f_αは連続(?)なので
"⇒"は連続写像同士の合成はまた連続なので明らか。
よって逆を示す。
まずf_α。g:Y→X_αは連続だと言うのだから∀t_α∈T_α,(f_α。g)^-1(t_α)∈T_y (但し,T_yはYの位相)…
(***)と書ける。
そしてこれは(f_α。g)^-1(t_α)=g^-1(f_α^-1(t_α)) (∵逆写像の定義)と変形でき,
f_α^-1(t_α)∈T_α⊂Tだったので纏めると,,(***)から
∀f_α^-1(t_α)∈T,g^-1(f_α^-1(t_α))∈T_yと書け、gは連続。

実はf_αは連続を使わないと"⇒"が示せなかったのですがここではf_αは連続は使えないのでしょうか?
そうしますとどうすれば"⇒"が示せますでしょうか?


(4)についてはf(a)=(f_1(a),f_2(a),…)となっていて

『ΠX_αの直積位相T_pはT_αをX_αの通常の位相とすると
S:=∪[α∈J]{π_α^-1(U_α);U_α∈T_α}
(Λは可算な添数集合,π_αは射影)
とするとこのSはΠX_α上の準開基をなし,
B:={∩[s∈S']s;S'⊂S,S'は有限集合}はΠX_α上の開基をなし、
これから生成される位相T_pは
T_p:={∪B';B'⊂B}(={∪[b∈B']b;B'⊂B}の意味)と書ける』

Z(⊂f(A))の位相はT_z:={f(A)∩t_p∈2^ΠX_α;t_p∈T_p}と書ける(∵相対位相の定義)。
それで示す事は∀t∈T,f(t)∈T_zである。
∀t∈Tを採ると∃α∈J;t∈T_αそして,f(t)=(f_1(t),f_2(t),…)となり,今f(t)⊂f(A)なので
f(t)∈T_zである事を示すにはあとf(t)∈T_pである事を示せばよい。
f_1(t)∈T_1,f_2(t)∈T_2,… なので(∵f_1,f_2,…は連続?)
よってf(t)∈Π[α∈J]T_α
、、、でここからf(t)∈T_pに持っていけません。
どうれすればいいのでしょうか?
あと,この(4)の証明でも「f_1,f_2,…は連続」という条件を使ってしまったのですが…
どうすればこの条件を使わず証明できますでしょうか?