工繊大の塚本です.

In article <e6i55k$6no$1@caraway.media.kyoto-u.ac.jp>
"MK278" <MK278@hotmail.com> writes:
> In article <060611214402.M0122804@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  X が任意の位相空間だと難しそうですね. 普通は滑らかな多様体の
> > 上で考えたりはする訳ですが.
> 実数空間での微分可能定義を拡張していくと、最終的に多様体上で
> 定義出来るのですね。

C^r級の可微分多様体上では s ≦ r なる自然数 s について
C^s級の関数という概念が意味を持つ, C^∞級の可微分多様体
上では任意の自然数 s について C^s級の関数という概念が
意味を持つ, ということで, 有限次元のユークリッド空間上
での解析学の自然な拡張が, 可微分多様体上で展開できます.

> どのような定義になるのかお教えいただければ幸いです。

これについては標準的な多様体論の教科書を御参照下さい.
一応, 松島与三著「多様体入門」裳華房, を挙げておきます.

# それを超えた拡張はどうでしょうね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp