長い記事も良いけど, 何が言いたいのか分からないかも.

In article <40B2325C.3060907@slis.tsukuba.ac.jp>
Yuzuru Hiraga <hiraga@slis.tsukuba.ac.jp> writes:
> そして dy = f'(x) dx だけではそれこそ「便利な記法」に過ぎませんから、
> それにきちんと体系だった基盤を与えるのでなければ「完全に正当化」
> したことにはならない。

高階の微分を視野に入れるなら, 実数上の実数値関数の微分ではなく,
ベクトル空間の開集合上で定義されたベクトル値関数の微分から出発
すると良いでしょう. 多様体上での話は別にして.
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千 (有限次元で良いです)