ご回答誠に有難うございます。

>> すいません。ここも混乱しております。これは
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
>> でのどの箇所について述べられてるのでしょうか?
> それの [Prop214] の (proof) が意味不明だから,
> 別に述べているわけです. [0.6] は一体何ですか.

"a=n and b=n+1…[0.5]の時, f(n)=a-[a]-b+[b]…[0.6]になる"という意味でした。

> [0.5] で a = n, b = n+1 とすることに決めたのであれば,
> [0.7] の \int_a^b も \int_n^{n+1} に書き直しておいた方が
> 分かりやすいでしょう.
>  \int_n^{n+1} f(x) dx
>   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
>   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
>   = (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> であるところから f(n) の項を出すなら, [0.7] の
>  (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) - f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> ではなくて,
>  (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> としなければなりません. f(n) の前の符号に注意.
> ということで, <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf>
> は破棄されますよう.

http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
の2ページの2行目から3行目が出て来るのが読み返してみて確かに意味不明ですね。
有難うございます。了解です。破棄します。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
>> とという具合に[Prop214]の両辺も書き換えたのですがこれででもいいでしょうか?
> 駄目です. [Prop213] は正しいですが,
> n \leq a < b \leq n+1 のとき a \leq x < b なる x について,
：
> となるだけです. a = n であれば,
>  - 2 (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) = f(n)
> とはなりますが.
> b = n+1 の場合は又違うことになります.

とほほ。です。。仰る通り,正しく(i),(ii)に分けずに証明したいと思います。

>> あと,[Prop213]を追加したのですが,
>> [Prop213]と[Prop214]でどうしてC^∞級である必要があるのでしょうか?
> 誤差の式をもっと精密化したい場合に必要であるので,
> ここでは C^1 級で十分です.

了解です。[Prop213]と[Prop214]の仮定を両方ともC^1級にしました。

>> 一体どのようにするのでしょうか?
> n \leq a < b \leq n+1 のとき
>  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
>   = (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - \int_a^b f(x) dx
> です.

すみません。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__09.jpg
となったのですがどうすれば,
(b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - ∫_a^b f(x) dxから
(b - [b] - 1/2) f(b) - (a - [a] - 1/2) f(a) - ∫_a^b f(x) dxが導けるのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
>> 部分積分法を使えばいいのですね。
> [Prop213] はそうです.

有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__08.jpg
>> となりましたが∫_n^{n+1}(x-[x]-1/2)d/dx f(x) dxが
>> ∫_n^{n+1}(x-n-1/2)d/dx f(x) dxと書ける理由をキチンと述べたくて,
> n \leq x < n+1 では (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x)
> = (x - n - 1/2) f'(x) ですから,
> \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
> = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx となるのは当たり前です.

仰る通りです。

> Riemann 積分で, 1 点だけで関数の値を変えたとき,
> 積分の値が変化すると思うのですか.

それはそうですが,,,定積分の定義では積分範囲は常に閉区間になっているので,記号的にすっきりませんでした。それで
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_improper_integral__00.jpg
という具合に広義積分を定義しましたので
∫_{[a,b],a→b}f(x)dxは収束し,lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dx
∫_{[a,b],a→b}f(x)dx=lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dxと書けるので
∫_{(a,b),a→b}f(x)dx:=lim_{a'→a+0,b'→b-0}∫_{[a',b'],a'→b'}f(x)dxという具合に開区間での定積分を定義すればいいのですね。

>> lim_{(0,1)∋ε→-0}∫_n^{n+1-ε}(x-n-1/2)d/dx f(x) dx
>> と広義積分に変形致しましたが,
> それは無用のことです.

了解です。

>> F(x)がx=n+1にて連続である理由が言えないので
> 関数 f(x) の原始関数 F(x) が連続でないと思うのですか.
> 連続でなければ微分もできませんよ.

そうでした。これは仰る通りでした。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__10.jpg
とお蔭様で上手くいきました。

>> 取り敢えず
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__03.pdf
>> となったのですが2ページ目の上から6,7行目にて
>> f(M)-f(N-1)が消去できるのはどうしてでしょうか?
：
> とすべきところを, 誤って
>  = - (b - \lfoor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M)
> と変形しているから, そうなるのです.

有難うございます。お蔭様で
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__03.pdf
と上手くいきました。これは[Prop214]を全く使用してませんがこれでもいいのですよね。

>> (ここでa=Nの時は積分範囲は[N-1,N]となるので
>> (N-1)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。
>> (ここでもb=M+1の時は積分範囲は[M,M+1]となるので
>> (M)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。。
> Riemann 積分をもう一度勉強して下さい.

了解です。

>> ここでも申し訳ありません。これは
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__02.pdf
>> の何処で使用するのでしょうか?
> a < n \leq b となる整数 n の全体が
> a < n \leq M となる整数 n の全体と一致することを考慮すれば
> 移項するだけで [Prop215] が出て来ます.

どうも有難うございます。

所で,
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
の題意を改めて見て,気づいたのですが,a:=1,b:=3とすれば
明らかにして,n≦a<b≦n+1なるn∈Nは存在しないので,この命題は明らかに偽だと思うのですがいかがでしょうか?