工繊大の塚本です.

In article <ki88rl$23i$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。ここも混乱しております。これは
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
> でのどの箇所について述べられてるのでしょうか?

それの [Prop214] の (proof) が意味不明だから,
別に述べているわけです. [0.6] は一体何ですか.
 [0.5] で a = n, b = n+1 とすることに決めたのであれば,
 [0.7] の \int_a^b も \int_n^{n+1} に書き直しておいた方が
分かりやすいでしょう.

  \int_n^{n+1} f(x) dx
   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
   = (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx

であるところから f(n) の項を出すなら, [0.7] の

  (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) - f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx

ではなくて,

  (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx

としなければなりません. f(n) の前の符号に注意.

ということで, <http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf>
は破棄されますよう.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
> とという具合に[Prop214]の両辺も書き換えたのですがこれででもいいでしょうか?

駄目です. [Prop213] は正しいですが,
 n \leq a < b \leq n+1 のとき a \leq x < b なる x について,
 \lfloor x \rfloor = n となることを用いて,
 [Prop213] の積分の中の n を \lfoor x \rfloor に置き換えて
得られる式は, n \leq a < b \leq n+1 のとき

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - \int_a^b f(x) dx

です. ここで \lfloor a \rfloor = n であり,
 b < n+1 なら \lfloor b \rfloor = n ですが,
 b = n+1 なら \lfloor b \rfloor = n+1 です.

 b < n+1 なら

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b) - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
      - \int_a^b f(x) dx,

つまり,

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx + \int_a^b f(x) dx,
   + (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
   - (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
   = 0,

つまり,

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx + \int_a^b f(x) dx,
   - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
   - (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
   = - 2 (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)

となるだけです. a = n であれば,

  - 2 (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a) = f(n)

とはなりますが.
 b = n+1 の場合は又違うことになります.

> あと,[Prop213]を追加したのですが,
> [Prop213]と[Prop214]でどうしてC^∞級である必要があるのでしょうか?

誤差の式をもっと精密化したい場合に必要であるので,
ここでは C^1 級で十分です.

> 一体どのようにするのでしょうか?

 n \leq a < b \leq n+1 のとき

  \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
   = (b - n - 1/2) f(b) - (a - n - 1/2) f(a) - \int_a^b f(x) dx

です.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__05.jpg
> 部分積分法を使えばいいのですね。

 [Prop213] はそうです.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg

だからその [Prop214] は間違っていますよ.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__08.jpg
> となりましたが∫_n^{n+1}(x-[x]-1/2)d/dx f(x) dxが
> ∫_n^{n+1}(x-n-1/2)d/dx f(x) dxと書ける理由をキチンと述べたくて,

 n \leq x < n+1 では (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x)
 = (x - n - 1/2) f'(x) ですから,
 \int_n^{n+1} (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx
 = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx となるのは当たり前です.
 Riemann 積分で, 1 点だけで関数の値を変えたとき,
積分の値が変化すると思うのですか.
 
> lim_{(0,1)∋ε→-0}∫_n^{n+1-ε}(x-n-1/2)d/dx f(x) dx
> と広義積分に変形致しましたが,

それは無用のことです.

> F(x)がx=n+1にて連続である理由が言えないので

関数 f(x) の原始関数 F(x) が連続でないと思うのですか.
連続でなければ微分もできませんよ.

> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__07.jpg
> の下から3行目から下から2行目のかけての変形はどうすれば言えるでのでしょうか?

そもそも問題などありません.

> あと,
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__08.jpg
> にて末行はどうすれば導けるのでしょうか?

だから, 間違っているので, 導けては困ります.

> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__02.pdf
> となったのですが2ページ目の上から6,7行目にて
> f(M)-f(N-1)が消去できるのはどうしてでしょうか?

 1 page の下から2番目の等号の右の項を最後の等号の右の項に
変形するとき,

  + [(x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f(x)]_{N-1}^a
  = (a - \lfoor a \rfloor - 1/2) f(a) + (1/2) f(N-1)

とすべきところを, 誤って

  (a - \lfoor a \rfloor - 1/2) f(a) - (1/2) f(N-1)

と変形し,

  - [(x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f(x)]_M^b
  = - (b - \lfoor b \rfloor - 1/2) f(b) - (1/2) f(M)

とすべきところを, 誤って

  = - (b - \lfoor b \rfloor - 1/2) f(b) + (1/2) f(M)

と変形しているから, そうなるのです.

> [Prop214]の事ですね。

貴方の [Prop214] は間違っています.

> (ここでa=Nの時は積分範囲は[N-1,N]となるので
> (N-1)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。

> (ここでもb=M+1の時は積分範囲は[M,M+1]となるので
> (M)の箇所を[x]と書き直していいのか疑問が残りますが)。。

 Riemann 積分をもう一度勉強して下さい.

> ∫_a^b f(x) dx　
> =Σ_{a < n ≦M} f(n)
> + (b - [b] - 1/2) f(b)
> - (a - [a] - 1/2) f(a)
> - \int_a^b (x - [x] - 1/2) f'(x) dx
> という等式が成り立つわけですね。

そう, これが目標の式でした.

> ここでも申し訳ありません。これは
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__02.pdf
> の何処で使用するのでしょうか?

 a < n \leq b となる整数 n の全体が
 a < n \leq M となる整数 n の全体と一致することを考慮すれば
移項するだけで [Prop215] が出て来ます.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp