ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.jpg
>> のProp215を示すべく,Prop214を示したいのですが
>> どのようにして証明できますでしょうか?
> [Prop214] の左辺, "\sum_{n \leq a < b \leq n+1} f(n)" というのは
> misleading です. a も b も整数であるとしているのではないですか.

そうでした。a,bは実数でした。

> a = n, b = n + 1 のとき, 部分積分から,
>  \int_n^{n+1} f(x) dx
>   = \int_n^{n+1} (x - n - 1/2)' f(x) dx
>   = [(x - n - 1/2) f(x)]_n^{n+1} - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
>   = (1/2) f(n+1) - (-1/2) f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
>   = (1/2) f(n+1) - (1/2) f(n) + f(n) - \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x) dx
> が得られますが,

了解です。

> 移項して, a \leq x < b なる x については

すみません。どの式を移項するのですか?

> \lfloor x \rfloor = n に注意して,
>  f(n)
>    = \int_n^{n+1} f(x) dx
>      + \int_n^{n+1} (x - n - 1/2) f'(x)
>      - (1/2) f(n+1) + (1/2) f(n)
>    = \int_a^b f(x) dx
>      + \int_a^b (x - \lfloor x \rlfoor - 1/2) f'(x) dx
>      + (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
>      - (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
> となります.

いまいち,よくわからないので題意も訂正致しました。
この題意の解釈で間違ってないでしょうか?
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop214__00.pdf
となってしまい,
(b-n-1/2)f(b)-(a-n-1/2)f(a)-∫_a^bf(x)dx
に辿り着けません。
何処を勘違いしておりますでしょうか?

後,(ii)でのa,bが非整数の場合にはどのようにすればいいのでしょうか?

> a - \lfloor a \rfloor = 0, b - \lfloor b \rfloor = 0
> を使って書きなおすことは, ここでは意味はないでしょうけれども.
> なお, [Prop214] の右辺の最後二項は符号が違います.
> そうすると, 一般に a < b となる整数 a, b について,
>  \sum_{a \leq n < b} f(n)
>   = \sum_{a \leq n < b} \int_n^{n+1} f(x) dx
：
>   = \int_a^b f(x) dx
>      + \int_a^b (x - \lfloor x \rfloor - 1/2) f'(x) dx,
>      + (a - \lfloor a \rfloor - 1/2) f(a)
>      - (b - \lfloor b \rfloor - 1/2) f(b)
>
> であり, [Prop215] 自体は a, b が a < b なる実数で成立します,


誠に申し訳ありません。ついて行けなくなりました。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop215__00.pdf
としてみました。
2ページ目の下から9行目から具体的な証明が始まってます。
Σ_{a<n≦b,n∈Z}f(n)=Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)
と変形できるのは何故でしょうか?

そして2ページ目の下から7行目にて,
Σ_{N≦n≦M,N,n,M∈Z}f(n)=∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_{N-1}^M(x-[x]-1/2)f'(x)dx-f(M)/2+f(N-1)/2
と変形できるのは何故なのでしょうか?

そして1ページ目の上から7行目から2ページ目の上から7行目にかけての
∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+(b-[b]-1/2)f(b)-f(M)/2-∫_M^b(x-[x]-1/2)f'(x)dx-(a-[a]-1/2)f(a)-f(N-1)/2+∫_{N-1}^a(x-[x]-1/2)f'(x)dx 

という等式は何処で利用するのでしょうか?
そこで1ページ目の上から7行目の
∫_a^bf(x)dx=∫_{N-1}^Mf(x)dx+∫_M^bf(x)dx-∫_{N-1}^af(x)dx
と
1ページ目の末行から2ページ目の上から2行目にかけての式変形は
どうして出来るのでしょうか?

更にProp215の証明の中でProp214は何処で利用すればいいのでしょうか?