ご回答誠に有難うございます。

>>> 極が出て来る部分を除くと無限和が収束して正則関数を与える
>>> ということを使わないでは, 「証明」とは言えません.
> これは \int_0^1 u^{s-1} \exp(-xu)/(1 - \exp(-u)) du
> = \sum_{k=0}^\infty (B_k(x)/k!)((-1)^k/(s + k - 1))
> において, s = 1 - n においては (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> だけが極を持ち, \sum_{k \neq n} (B_k(x)/k!)((-1)^k/(s + k - 1))
> は収束して s = 1 - n で正則である, という事実が
> 「証明」において使われていることを指摘しています.

??
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__38.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__39.jpg
では単にζ(1-n,x)=-1/n B_n(x)という等式の証明ですよね。しかも自然数nは0からではなく1からという事が分かりましたので極とは無縁な証明なのではないでしょうか?

もし,nが0からならζ(1,x)=-1/0 B_0(x)の場合も示さねばならず1はζ(1-n,x)の極なので上述されている事は頷けますが。

>> ζ(s,x)がs=1にて一位の極を持つ事は知っておりますが
>> えっ? 今,1≦n∈Nであってn=0とは仮定していないので極の心配は不要なのでは?
> それは違う話.

そうでしたか。

>> もしかしてn∈N∪{0}と仮定してあるのですかね。
> \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> の和は n = 0 からの和です.

確認してみましたら
Σ_{k=0}^∞ (B_k(x)/k!)((-1)^k/(s + k - 1))
と確かに"k=0"からの和ですね(n=0ではなく)。

> \zeta(1-n, x) = -(1/n)B_n(x) となるのは,
> n が「自然数」のときだから, n = 0 は入りません.

了解です。定理3.18の題意の自然数とは0は含まず1,2,3,…なる数の事なのですね。
お陰さまではっきりいたしました。

> 実際, \zeta(s, x) は s = 1 で一位の極を持つので,
> \zeta(1, x) は無限大に発散します.

そうですね。でも今,題意の自然数は1,2,3,…という正整数(0は採らない)であるという事がはっきりしましたので
ζ(1-n,x)=-1/n B_n(x)という等式の証明にては1-n=1となる事は有り得ませんので
ζ(1-n,x)=-1/n B_n(x)の左辺では極についての議論は無用ですね。

>> それならという事で
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__36.jpg
>> としてみましたが,
> それは的外れ.

今,題意の自然数とは正整数の事なので
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__36.jpg
の(i)の議論は無用でしたね。
結局,n=0の箇所はだだの誤植だったのですね。

>> 右辺の-1/0 B_0(x)が左辺と同じように
>> Σ_{k=0}^∞c_k(z-a)^k+1/(z-1)^1と表される事が分かるのでしょうか?
> そうはなりません. しかし, \zeta(s, x) の s = 1 での
> 留数の計算が, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> を調べてでてきます.

成程です。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop3_15__88.jpg
と
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_2998__00.jpg
の(iii)と
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_103__01.jpg
からRes_{s=1}ζ(s,x)=1が求まりますよね。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__37.jpg
>> とするのでした。
> \Gamma(s) は s = 1 - n で一位の極を持っているので,
> \Gamma(1-n) という表記は感心しません.

Γ関数についてはそうですが1/Γ(1-n)はΓ関数ではなくWeierstrass product of 
Viewですよね。
(1/Γ)(1-n)という風に書く方が宜しいでしょうか?