ご回答誠に有難うございます。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/P102.JPG
>> を参考に
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_28__04.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__30.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__31.jpg
>> としてみましたが
> 分かっているならそれで良いのですが,

は,はぁ。

>> 最後から2行目の所でlim_{s→1-n}(s+n-1)Γ(s)
>> =lim_{s→1-n}(s+n-1)lim_{s→1-n}Γ(s)と変形できる事と
> そんな変形はしません.

失礼致しました。

>> これから(-1)^{n-1}1/(n-1)!が導け出せる理由が分かりません。
> \Gamma(s + 1) = s \Gamma(s) ですから,
> \Gamma(s + n) = (s + n - 1) \Gamma(s + n - 1)
>  = (s+n-1)(s+n-2) \Gamma(s+n-2)
>  = (s+n-1)(s+n-2) \cdots (s+1) s \Gamma(s) であり,
> \Gamma(s) = \Gamma(s + n)/((s+n-1)(s+n-2) \cdots (s+1) s)
> となります. 従って,
> \lim_{s \to 1 - n} (s+n-1) \Gamma(s)
>  = \lim_{s \to 1 - n} \Gamma(s + n)/((s+n-2) \cdots (s+1) s)
>  = \Gamma((1-n) + n)/((1-n)+n-2) \cdots ((1-n)+1) (1-n))
>  = (-1)^{n-1}/(n-1)! です. \Gamma(1) = 0! = 1 に注意します.

どうも有難うございます。納得です。

>> それとどうして[4]と[7]から,いきなりζ(1-n,x)=-nBnl(n,x)
>> と結論付けれるのでしょうか?
> [4] は n = 0 のときの話ですから, 今は使いません.
> 使うのは \lim_{s \to n - 1} (s + n - 1) \Gamma(s) \zeta(s, x)
> = (B_n(x)/n!) (-1)^n という式と,
> [7]  \lim_{s \to n - 1} (s + n - 1) \Gamma(s) = (-1)^{n-1}/(n-1)!
> です. 合わせれば,
> \zeta(1-n, x) = - (1/n) B_n(x) が出てきます.
> 先ず, 97 page の定理 3.18 (1) には誤植があり,
> \zeta(1-r, x) = - (1/r) B_r(x) が正しいことに注意します.

どうも有難うございます。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__33.jpg
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__34.jpg
お蔭様で上手くいきました。

所でn=0の場合の
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__32.jpg
の出番はいつなのでしょうか?
http://www.geocities.jp/sayori_765195/P102.JPG
に記載されてたので定理3.18(1)の証明でつい書いてしまったのですが。

(2)については(1)を利用して
http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__35.jpg
と上手くいきました。