工繊大の塚本と申します.

先ず, 97 page の定理 3.18 (1) には誤植があり,
 \zeta(1-r, x) = - (1/r) B_r(x) が正しいことに注意します.

In article <jtut8k$vnr$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 折角,
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/P100.JPG
> の解説にもあるようにΓ(s)ζ(s,x)を使って証明してありそうなので
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__25.jpg
> としてみましたがここから先に進めずにおります。
> ここからどのようにすればいいのでしょうか?

 \zeta(u, x) は s = 1 - n で零点を持つ関数 1/\Gamma(s) と
 s = 1 - n で一位の極を持つ関数
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) + \int_1^\infty f(s, u) du
の積ですから, s = 1 - n で正則な関数 f(s), g(s) を用いて
 1/\Gamma(s) = (s + n - 1) f(s),
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) + \int_1^\infty f(s, u) du
 = (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1)) + g(s)
と書いたとき, \zeta(1-n, x) = f(1-n) (B_n(x)/n!) (-1)^n
となります. 後は f(1-n) = (-1)^{n-1} (n-1)! を示せば良い.

> 以前,ご説明いただいたように従来のやり方で
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__26.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__27.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__28.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__29.jpg
> とまで来たのですがこれも
> Σ_{n=0}^∞B_n(n,1-x)/(n!(n+s-1))から先に進めずにおります。
> ここからどのようにすればいいのでしょうか?

私が上で述べた f(s) とか g(s) とかが何かは分かりますか.

> あと,証明がどのような手順を踏んで行われているのか全くわかりません。
> 大まかな粗筋もお教えいただけたら幸いでございます。

粗筋は上で述べました.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp