ご回答誠に有難うございます。

Prop192.12005の題意での条件はRe(x)>0ではなく
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12005__03.jpg
でも大丈夫なようです。特に証明内でRe(x)>0でなくても何ら影響を与えませんので。 


> だから, u = 0 のどんな近傍でも良いですから,
> \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
> の成立が分かれば,

すいません。意味が分かりません。
たとえば|u|<2πから|u|<2の範囲に縮めて,
0<x≦1では |B_n(x)/n!|≦1/2^nでしたから
0<x≦1の時,|(B_n(x)/n!)u^n|≦(1/2^n)u^nが成立ち
|u|<2の時,Σ_{n=0}^∞(1/2^n)u^n=Σ_{n=0}^∞(u/2)^n=1/(1-u/2)∈Rですから
WeierstrassのM-testより,Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n!は0<x≦1の時,|u|<2の範囲で一様収束するので,項別微分可能となり,
(∂^h/∂x^h Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!)|_{x=0}=(∂^h/∂x^h 
uexp(xu)/(exp(u)-1))|_{x=0}成立を突破でき, 最終的に0<x≦1且つ|u|<2の範囲で
Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が言えますね。

> 後者の |u| < 2 \pi での正則性から,
> 前者の収束半径が 2 \pi 以上であることが分かり,
> 後は何も示す必要がない筈です.

え?  |u|<2の範囲で
Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立が分かったら
後者uexp(xu)/(exp(u)-1)が|u|<2πで正則が分かったら(これは簡単だと思いますが)どうして|u|<2πの範囲でも
Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)成立の拡張が可能なのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__01.jpg
>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__02.jpg
>> でM-testで一様収束性が示せるかと思ったのですが
>> uの範囲は|u|<2πなので
>> Σ_{n=0}^∞M/u^nが優級数になるのかさえ分かりません。
>> やはり,どうすればいいのでしょうか?
> u が |u| \leq r_1 < r_2 < 2 \pi のときは,
> r_2 に対して |B_n(x)/n!| \leq M/(r_2)^n となる M を取って,
> \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n に対する優級数としては,
> \sum_{n=0}^\infty M (r_1/r_2)^n を取ることになりますが,

お蔭様で上手くいきました。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1206__00.jpg

> そもそも, そういう話が必要ですか.

はい。Prop192.1206のお陰でProp192.121の一番のネックだった箇所が
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__03.jpg
と漸く解決し,Prop192.121の証明は終わりました。

と思いきや,Prop192.1206を示すのにProp192.1205を使っていて
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1205__00.jpg
Prop192.1205を証明するのに,Prop192.1203
http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_1203__00.jpg
を使っていてこの中で最終的に示そうとしているProp192.121を使ってしまっていて,ただの堂々巡りな丈でした。

> B_n(x) を Bernoulli 数 B_n から
> B_n(x) = \sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i}
> で定義するとき, \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
> = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) となることを
> 証明したいのであれば, 証明の中で
>  \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n = u \exp(xu)/(\exp(u) - 1)
> と言う式を使ってはいけません. つまり,
> <http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf>
> は, 証明の一行目からして無意味です.

そうでした。ごもっともです。

>> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_121__00.pdf
>> となったのですが上から5行目で
>>  (∂^h/∂x^h) Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n!
>> =Σ_{n=0}^∞(∂^h/∂x^h) u^nB_n(x)/n!
>> と項別微分が可能なのでしょうか?
>> この変形はΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!が一様収束するからだと思います。
>> その為にWeierstrassのM-testを利用するのだと思いますが
>> 優級数がどうしても見つけれません。
>> |B_n(x)u^n/n!|はどんな優級数で抑えれるのでしょうか?
> 0 < x \leq 1 では |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n が成立することは
> 注意しましたから, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n が
> |u| < 2 では収束することは分かりますので,

上記の通り,
0<x≦1では |B_n(x)/n!|≦1/2^nでしたから
0<x≦1の時,|(B_n(x)/n!)u^n|≦(1/2^n)u^nが成立ち
|u|<2の時,Σ_{n=0}^∞(1/2^n)u^n=Σ_{n=0}^∞(u/2)^n=1/(1-u/2)∈Rですから
WeierstrassのM-testより,Σ_{n=0}^∞u^nB_n(x)/n!は0<x≦1の時,|u|<2の範囲で一様収束するのですよね。

> そこから出発する
> のも一つの手です.

ちょっと考慮してみます。